Exercise 1.6: Rectangular-in-Time Low-Pass

From LNTwww

Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal

Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:

  • Der Frequenzgang  $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$  im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
  • Hierbei ist  $h_1(t)$  im Bereich von  $-1\ \rm ms$  bis  $+1\ \rm ms$  konstant gleich  $k$  und außerhalb Null.
  • An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
  • Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit  $Δt = 2 \ \rm ms$.


Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion  $H_2(f)$  lautet:

$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$

Der Frequenzgang zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $z(t)$  hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:

$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
  • Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  gelte  $τ = 0$   ⇒   $H(f) = H_1(f)$.
  • Mit  $τ = 0$  kann hierfür aber auch geschrieben werden  $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
  • Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für  $τ ≠ 0$  nicht anwendbar ist, wegen:
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe  $k$  der Impulsantwort  $h_1(t)$  unter der Nebenbedingung  $H_1(f = 0) = 1$.

$k \ =\ $

$\ \rm 1/s$

2

Das Eingangssignal  $x(t)$  sei ein um  $t = 0$  symmetrisches Rechteck der Dauer  $T = 2 \ \rm ms$  und der Höhe  $1 \, \rm V$. Es gelte  $τ = 0$ .
Welche Aussagen sind zutreffend?

$y(t)$  ist rechteckförmig.
$y(t)$  ist dreieckförmig.
$y(t)$  ist trapezförmig.
Der Maximalwert von  $y(t)$  beträgt  $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn  $x(t)$  die Rechteckbreite  $T = 1 \ \rm ms$  besitzt?

$y(t)$  ist rechteckförmig.
$y(t)$  ist dreieckförmig.
$y(t)$  ist trapezförmig.
Der Maximalwert von  $y(t)$  beträgt  $1\hspace{0.05cm} \rm V$.

4

Es gelte weiter  $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal  $z(t)$, wenn  $x(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  von Null auf  $1\hspace{0.05cm} \rm V$  springt.
Welche Aussagen treffen zu?

$z(t)$  ist eine gerade Funktion der Zeit.
$z(t)$  weist bei  $t = 0$  eine Sprungstelle auf.
Zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist  $z(t) = 0$.
Für  $t > 1 \ \rm ms$  ist  $z(t) = 0$.

5

Welchen Verlauf hat  $z(t)$  als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal  $x(t)$, wenn die Laufzeit  $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  ist?
Welcher Signalwert tritt bei  $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf?

$z(t = 1 \rm \ ms) =\ $

$\ \rm V$


Musterlösung

(1)  Die Bedingung  $H(f = 0) = 1$  bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich  $1$  ist.   Daraus folgt:

$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

  • Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich als das Faltungsprodukt von  $x(t)$  und  $h(t)$.
  • Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei  $t = 0$:
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$


rechts

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
  • Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von  $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$  bis  $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf und beträgt
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$


rechts

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:   $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$  Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
  • Durch Integration über  $h_{\rm HP}(t)$  und Multiplikation mit  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  kommt man zum gesuchten Signal  $z(t)$.
    In der unteren Skizze sind dargestellt:
  1. das Integral über  $δ(t)$  blau,
  2. die Funktion  $-σ(t)$  rot,  und
  3. das gesamte Signal  $z(t)$  grün.
  • $z(t)$  ist eine ungerade Funktion in  $t$  mit einer Sprungstelle bei  $t = 0$:   Der Signalwert bei  $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
  • Für  $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  gilt ebenfalls  $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.


rechts

(5)  Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$  und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$.

  • Diese springt bei  $t = 0$  auf  $1$  und klingt bis zum Zeitpunkt  $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf den Endwert "Null" ab.
  • Zum Zeitpunkt  $t = 1\ \rm ms$  ergibt sich  $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
  • Das Signal  $z(t)$  ist formgleich mit der Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  zu multiplizieren.
  • Der gesuchte Signalwert zur Zeit  $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  ergibt sich also zu  $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.