Aufgabe 2.1: AKF und LDS nach Codierung

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Leistungsdichtespektrum bei Codierung

Wir betrachten das Digitalsignal  $s(t)$, wobei wir folgende Beschreibungsgrößen verwenden:

  • $a_{\nu}$  sind die Amplitudenkoeffizienten,
  • $g_{s}(t)$  gibt den Sendegrundimpuls an,
  • $T$  ist die Symboldauer (Abstand der Impulse).


Dann gilt:

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Charakterisierung der spektralen Eigenschaften, die sich aufgrund der Codierung und der Impulsformung ergeben, verwendet man unter anderem

  • die Autokorrelationsfunktion (AKF)
$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm},$$
  • das Leistungsdichtespektrum (LDS)
$${\it \Phi}_s(f) = {1}/{T} \cdot {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $\varphi_{a}(\lambda)$  die diskrete Autokorrelationsfunktion der Amplitudenkoeffizienten, die mit der spektralen Leistungsdichte  ${\it \Phi}_{a}(f)$  über die Fouriertransformation zusammenhängt. Für diese gilt somit:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin sind in obigen Gleichungen die Energie–AKF und das Energiespektrum verwendet:

$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau)\,{\rm d} t \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) = |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$


In der vorliegenden Aufgabe soll für die spektrale Leistungsdichte der Amplitudenkoeffizienten folgender Funktionsverlauf angenommen werden (siehe Grafik):

$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$

Für den Sendegrundimpuls werden folgende Annahmen getroffen:

  • In der Teilfrage (2) sei  $g_{s}(t)$  ein NRZ–Rechteckimpuls, so dass eine dreieckförmige Energie–AKF vorliegt, die auf den Bereich  $|\tau| ≤ T$  beschränkt ist. Das Maximum ist dabei
$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0) = s_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
  • Für die Teilaufgabe (3) soll von einer Wurzel–Nyquist–Charakteristik mit Rolloff–Faktor  $r = 0$  ausgegangen werden. In diesem Fall gilt:
$$|G_s(f)|^2 = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T^2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| < {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}, \\ |f| > {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
  • Für numerische Berechnungen ist stets  $s_{0}^{2} = 10 \ \rm mW$  zu verwenden.




Hinweise:

  • Berücksichtigen Sie, dass die Sendeleistung  $P_{\rm S}$  gleich der AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  an der Stelle  $\tau = 0$  ist, aber auch als Integral über das LDS  $\Phi_{s}(f)$  berechnet werden kann.

Fragebogen

1

Welche diskreten AKF–Werte  $\varphi_{a}(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten ergeben sich? Geben Sie die Zahlenwerte für  $\lambda = 0$,  $\lambda = 1$  und  $\lambda = 2$  ein.

$\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 2) \ = \ $

2

Welche Sendeleistung ergibt sich mit dem  NRZ–Sendegrundimpuls?

$P_{\rm S} \ = \ $

$ \ \rm mW$

3

Wie groß ist die Sendeleistung bei  Wurzel–Nyquist–Charakteristik  $(r = 0)$?

$P_{\rm S} \ = \ $

$ \ \rm mW$


Musterlösung

(1)  Da ${\it \Phi}_{a}(f)$ als eine spektrale Leistungsdichte stets reell ist (dazu gerade und positiv, aber das spielt hier keine Rolle) und die AKF–Werte $\varphi_{a}(\lambda)$ symmetrisch um $\lambda = 0$ sind, kann die angegebene Gleichung wie folgt umgewandelt werden:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} = \varphi_a(0) + \sum_{\lambda = 1}^{\infty}2 \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T) \hspace{0.05cm}.$$
  • Durch Vergleich mit der skizzierten Funktion
$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$
erhält man:
$${\it \varphi}_a(\lambda = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}, \hspace{0.2cm} {\it \varphi}_a(\lambda = 2) = {\it \varphi}_a(\lambda = -2) \hspace{0.15cm}\underline {= -0.25} \hspace{0.05cm}.$$
  • Alle anderen AKF–Werte ergeben sich zu Null, also auch $\varphi_{a}(\lambda = ±1)\hspace{0.15cm}\underline {=0}$.


(2)  Für den rechteckförmigen NRZ–Grundimpuls ergibt sich aufgrund der Begrenzung der Energie–AKF auf den Bereich $|\tau| ≤ T$:

$$P_{\rm S} = \varphi_s(\tau = 0) = \frac{1}{T} \cdot \varphi_a(\lambda = 0)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0)= \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{2} \cdot s_0^2 \cdot T = \frac{s_0^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 5\,\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Bei rechteckförmiger Spektralfunktion ist es günstiger, die Sendeleistung durch Integration über das Leistungsdichtespektrum zu berechnen:

$$P_{\rm S} = \ \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} {\it \Phi}_s(f) \,{\rm d} f = \frac{1}{T} \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \,{\rm d} f$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}P_{\rm S} = \ \frac{1}{T} \cdot \left [ s_0^2 \cdot T^2 \right ] \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} \left( {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\right ) \,{\rm d} f\hspace{0.05cm} = {s_0^2}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 5\,\,{\rm mW}} .$$
  • Hierbei ist berücksichtigt, dass für diese Aufgabe das Energie–LDS $|G_{s}(f)|^{2}$ als konstant vorgegeben ist (innerhalb des Integrationsintervalls) und somit vor das Integral gezogen werden kann.
  • Trotz völlig anderer Signalform $s(t)$ ergibt sich hier die gleiche Sendeleistung, da das Integral den Wert $1/(2T)$ liefert.
  • Anzumerken ist, dass diese einfache Rechnung nur für den Rolloff-Faktor $r = 0$ möglich ist.