Aufgabe 3.09: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung

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Beispielhafte Korrelationswerte

Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:

$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011 \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111 \hspace{0.05cm}.$$

Weiter gilt:

  • Die möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  – jeweils mit der Dauer  $3T$  – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von  $s_0(t) \equiv 0$.
  • Die Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_4(t)$  mit nur jeweils einer "$1$" besitzen die Signalenergie  $E_{\rm B}$  (steht für "Energie pro Bit"), während zum Beispiel die Energie von  $s_7(t)$  gleich  $3E_{\rm B}$ ist.


Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen (Metriken)

$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t \hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$

und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$, falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.


In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte  $I_0, \ \text{...} \ , I_7$  für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen  $n(t)$  unterscheiden und mit  $\rm A$,  $\rm B$  oder  $\rm C$  bezeichnet werden.

  • Eine dieser Spalten steht für "keine Störung",
  • eine für "geringe Störungen" und
  • eine weitere für "starke Störungen".


Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.




Hinweis:



Fragebogen

1

Bei welchem System gibt es keine Störungen  $n(t)$? Bei

$\rm System \ A$,
$\rm System \ B$,
$\rm System \ C$.

2

Welche Quellensymbolfolge  $Q_k ∈ {Q_0, \ \text{...} \ , Q_7}$  wurde tatsächtlich gesendet?

$k \ = \ $

3

Welcher Entscheidungswert  $W_j$  ist bei System  $\rm A$  am größten?

${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $

4

Welcher Entscheidungswert  $W_j$  ist beim System  $\rm C$  am größten?

${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $

5

Bei welchem System treten die größten Störungen auf? Bei

$\rm System \ A$,
$\rm System \ B$,
$\rm System \ C$.

6

Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass  $Q_2$  gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für  $Q_2$  entscheidet?

Die Differenz zwischen  $W_2$  und dem nächstgrößten Wert  $W_{i \ne 2}$  ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind.
Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge  $Q_6$.
Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von  $Q_0$,  $Q_3$  bzw.  $Q_6$  sind gleich.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Beim System  $\rm B$  treten viermal die Metriken $0$ und viermal die Metriken $1$ auf.
  • Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen  $\rm A$  und  $\rm C$  – alle $I_i$ unterscheiden müssten.


(2)  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:

$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5 \hspace{0.05cm},$$
$$W_2 = 1 - 0.5 = 0.5, \hspace{0.2cm}W_3 = 1 - 1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
$$W_4 = 0 - 0.5 = -0.5, \hspace{0.2cm}W_5 = 0 - 1 = -1 \hspace{0.05cm}.$$
$$W_6 = 1 - 1 = 0, \hspace{0.2cm}W_7 = 1 - 1.5 = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.
  • Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$.
  • Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ "$\rm 010$" gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.


(3)  Für die Entscheidungswerte von System  $\rm A$  gilt:

$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$
$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$
$$W_4 = 0.05 - 0.50 = -0.45, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.02 - 1.00 = -1.02\hspace{0.05cm},$$
$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Maximum ist $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.
  • Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System  $\rm A$  die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.
  • Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.


(4)  Der Korrelationsempfänger  $\rm C$  hat folgende Werte zu vergleichen:

$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 = -1.81 \hspace{0.05cm},$$
$$W_2 = 3.59 - 0.50 = 3.09, \hspace{0.2cm}W_3 = 2.28 - 1.00 = 1.28 \hspace{0.05cm},$$
$$W_4 = 0.97 - 0.50 = 0.47, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.34 - 1.00 = -1.34 \hspace{0.05cm},$$
$$W_6 = 4.56 - 1.00 = 3.56, \hspace{0.2cm}W_7 = 3.25 - 1.50 = 1.75 \hspace{0.05cm}.$$

Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.

  • Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.
  • Die Störungen sind zu stark.


(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die Störungen sind bei System  $\rm C$  am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.


(6)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

  • Im fehlerfreien Fall (System  $\rm B$) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.
  • Bei System  $\rm A$  (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$.
  • Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.
  • Für das System  $\rm C$, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe (4), wurde eine gegenüber dem System  $\rm A$  um den Faktor 400 größere Rauschleistung zugrundegelegt.
  • Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden.
  • Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist "Zufall" und sollte nicht überinterpretiert werden.