Aufgabe 3.15: Data Processing Theorem

From LNTwww

"Data Processing Theorem"

Wir betrachten die folgende Datenverarbeitungskette:

  • Binäre Eingangsdaten  $X$  werden durch den Prozessor  $1$  (obere Hälfte in der Grafik) verarbeitet, der durch bedingte Wahrscheinlichkeiten   ⇒   $P_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X}(\cdot)$  beschreibbar ist.  Dessen Ausgangsgröße ist  $Y$.
  • Ein zweiter Prozessor mit der Zufallsgröße  $Y$  am Eingang und der Zufallsgröße  $Z$  am Ausgang ist durch  $P_{Z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}Y}(\cdot)$  gegeben  (untere Hälfte in der Grafik).  $Z$  hängt allein von  $Y$  ab  (deterministisch oder stochastisch)  und ist unabhängig von  $X$:
$$P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} XY\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} x, y) =P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} Y\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} y) \hspace{0.05cm}.$$

Für diese Beschreibung wurde folgende Nomenklatur benutzt:

$$x \in X = \{0, 1\}\hspace{0.02cm},\hspace{0.3cm} y \in Y = \{0,1\}\hspace{0.02cm},\hspace{0.3cm} z \in Z = \{0, 1\}\hspace{0.02cm}.$$

Die Verbund–Wahrscheinlichkeitsfunktion  (englisch:  Joint Probability Mass Function)  lautet:

$$P_{XYZ}(x, y, z) = P_{X}(x) \cdot P_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} X\hspace{-0.03cm}}(y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} x)\cdot P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} Y\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} y) \hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet auch:

$X → Y → Z$  bilden eine  Markovkette.  Für eine solche gilt das  Data Processing Theorem  mit folgender Konsequenz:

$$I(X;Z) \le I(X;Y ) \hspace{0.05cm}, $$
$$I(X;Z) \le I(Y;Z ) \hspace{0.05cm}.$$

Das Theorem besagt somit:

  • Man kann durch Manipulation  (Processing)  der Daten  $Y$  keine zusätzliche Information über den Eingang  $X$  gewinnen.
  • Datenverarbeitung  (durch den Prozessor   $1$)  dient nur dem Zweck, die in  $X$  enthaltene Information besser sichtbar zu machen.





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lässt sich das Ergebnis  $I(X; Y) = 1 - H_{\rm bin}(p)$  interpretieren?

Die Herleitung erfolgt über die Eigenschaften eines streng symmetrischen Kanals.
Ausgenutzt wird, dass  $H_{\rm bin}(p)$  eine konkave Funktion ist.
Das Ergebnis gilt für jede Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$.

2

Welche Transinformation  $I(X; Y)$  ergibt sich für den ersten Prozessor mit  $p = 0.1$?

$ I(X; Y) \ = \ $

$\ \rm bit$

3

Welche Transinformation  $I(Y; Z)$  ergibt sich für den zweiten Prozessor mit  $q = 0.2$?

$I(Y; Z) \ = \ $

$\ \rm bit$

4

Welche Transinformation  $I(X; Z)$  ergibt sich für das Gesamtsystem mit  $p = 0.1$  und  $q = 0.2$?

$I(X; Z) \ = \ $

$\ \rm bit$

5

Erfüllt dieses Beispiel das  "Data Processing Theorem"?

Ja,
Nein.


Musterlösung

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

  • Beide Prozessoren beschreiben streng symmetrische Kanäle   ⇒   sowohl gleichmäßig dispersiv als auch gleichmäßig fokussierend.
  • Für einen solchen Binärkanal gilt mit  $Y = \{0, 1\} \ ⇒ \ |Y| = 2$:
$$I(X;Y) = 1 + \sum_{y \hspace{0.05cm}\in\hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} X}(y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}P_{\hspace{0.01cm}Y \hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} X}(y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}x) \hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei ist es völlig egal, ob man von  $X = 0$  oder von  $X = 1$  ausgeht. 
  • Für  $X = 0$  erhält man mit  $P_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X}(Y = 1\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X = 0) = p$  und  $P_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X}(Y = 0\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X = 0) = 1 – p\hspace{0.05cm}$:
$$ I(X;Y) = 1 + p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (p) + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1-p) = 1 - H_{\rm bin}(p)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.0cm}H_{\rm bin}(p)= p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p}+ (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Ergebnis gilt allerdings nur für  $P_X(X) = (0.5, \ 0.5)$   ⇒   maximale Transinformation   ⇒   Kanalkapazität.
  • Andernfalls ist  $I(X; Y)$  kleiner.     Beispielsweise gilt für $P_X(X) = (1, \ 0)$:   $H(X) = 0$   ⇒   $I(X; Y) = 0.$
  • Die binäre Entropiefunktion ist zwar konkav, aber diese Eigenschaft wurde bei der Herleitung nicht benutzt   ⇒   Antwort 2 ist falsch.


(2)  Für den Prozessor  $1$  ergibt sich mit  $p = 0.1\hspace{0.05cm}$:

$$ I(X;Y) = 1 - H_{\rm bin}(0.1) = 1 - 0.469 \hspace{0.15cm} \underline {=0.531 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Entsprechend gilt für den zweiten Prozessor mit  $q = 0.2\hspace{0.05cm}$:

$$I(Y;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.2) = 1 - 0.722 \hspace{0.15cm} \underline {=0.278 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Wahrscheinlichkeit für  $Z = 0$  unter der Bedingung  $X = 0$  ergibt sich über zwei Wege zu

$$P(\hspace{0.01cm}Z\hspace{-0.05cm} = 0\hspace{0.03cm} | \hspace{0.03cm} X\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0) = (1-p) \cdot (1-q) + p \cdot q = 1 - p - q + 2pq \stackrel{!}{=} 1 - \varepsilon \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Gesamtsystem hat dann die genau gleiche BSC–Struktur wie die Prozessoren $1$ und $2$, aber nun mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = p + q - 2pq \hspace{0.05cm}.$
  • Für  $p = 0.1$  und  $q = 0.2$  erhält man:
$$ \varepsilon = 0.1 + 0.2 - 2\cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.26 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.26) = 1 - 0.827 \hspace{0.15cm} \underline {=0.173 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die Antwort ist natürlich  JA, da beim  Data Processing Theorem genau von den hier gegebenen Voraussetzungen ausgegangen wird.

Wir wollen aber zusätzlich einige numerische Ergebnisse auswerten:

  • Gilt  $0 ≤ p < 0.5$  und  $0 ≤ q < 0.5$, so erhält man:
$$\varepsilon = p + q \cdot (1-2p) > p \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) < I(X;Y) \hspace{0.05cm},$$
$$\varepsilon = q + p \cdot (1-2q) > q \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) < I(Y;Z) \hspace{0.05cm}.$$
  • Für  $p = 0.5$  gilt unabhängig von  $q$, da  $I(X; Z)$  nicht größer sein kann als  $I(X; Y)$:
$$\varepsilon = 0.5 + q \cdot (1-1) = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Ebenso erhält man mit  $q = 0.5$  unabhängig von  $p$:
$$\varepsilon = 0.5 + p \cdot (1-1) = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(Y;Z) = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch für  $p < 0.5$  und  $q > 0.5$  wird das Data Processing Theorem nicht verletzt, was hier nur an einem Beispiel gezeigt werden soll:
Mit  $p = 0.1$  und  $q = 0.8$  erhält man das gleiche Ergebnis wie in Teilaufgabe  (4):
$$\varepsilon = 0.1 + 0.8 - 2\cdot 0.1 \cdot 0.8 = 0.74 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.74) = 1 - H_{\rm bin}(0.26) =0.173 \,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$$