Aufgabe 3.1: Kausalitätsbetrachtungen

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Zwei Vierpolschaltungen

Die Grafik zeigt oben den Vierpol mit der Übertragungsfunktion

$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm},$$

wobei  $f_{\rm G}$  die 3dB–Grenzfrequenz angibt:

$$f_{\rm G} = \frac{R}{2 \pi \cdot L} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Hintereinanderschalten von  $n$  gleich aufgebauten Vierpolen  $H_1(f)$  kommt man zur Übertragungsfunktion

$$H_n(f) = \big [H_1(f)\big ]^n =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n} \hspace{0.05cm}.$$
  • Vorausgesetzt ist hierbei eine geeignete Widerstandsentkopplung, die aber zur Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist.
  • Die untere Grafik zeigt zum Beispiel die Realisierung der Übertragungsfunktion  $H_2(f)$.


In dieser Aufgabe wird ein solcher Vierpol im Hinblick auf seine Kausalitätseigenschaften betrachtet.

Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion  $H(f)$  die  Hilbert–Transformation, was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da die Hilbert–Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable  $x$  ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie kann  $H_1(f)$  charakterisiert werden?

$H_1(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
$H_1(f)$  beschreibt einen Hochpass.

2

Beschreibt  $H_1(f)$  ein kausales Netzwerk?

Ja.
Nein.

3

Berechnen Sie die Übertragungsfunktion  $H_2(f)$.  Welcher komplexe Wert ergibt sich für  $f = f_{\rm G}$?

${\rm Re}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

$H_2(f)$  beschreibt ein kausales System.
Die Ausdrücke  $(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$  und  $2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$  sind ein Hilbert–Paar.
Für  $n > 2$  ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Die angegebene Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen.   Es gilt:
$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
  • Es handelt sich um einen Hochpass.
  • Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität  $L$  einen Kurzschluss dar.


(2)  Richtig ist Ja:

  • Jedes reale Netzwerk ist kausal.  Die Impulsantwort  $h(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt  $t= 0$  am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls – ein so genannter Diracimpuls – angelegt wird.
  • Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten  $t< 0$  ein Signal auftreten:
$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen:   Die Hochpass–Übertragungsfunktion  $H_1(f)$  kann wie folgt umgeformt werden:
$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu  $H_1(f)$  äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt.
  • Die "$1$" wird zu einer Diracfunktion.  Mit  $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$  gilt somit für  $t \ge 0$:
$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
  • Für  $t< 0$  gilt dagegen  $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.


(3)  Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:

$$H_2(f) = \big [H_1(f)\big ]^2 =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2} =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2 \cdot \big [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\big ]^2} {\big [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\big ]^2}= \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2 \cdot (f/f_{\rm G})^3)} {\big [1+(f/f_{\rm G})^2 \big ]^2}\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit  $f = f_{\rm G}$  folgt daraus:
$$H_2(f = f_{\rm G}) = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2} {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.4cm} {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Da für  $t < 0$  die Impulsantwort  $h_1(t) = 0$  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation  $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$  die Kausalitätsbedingung.  Ebenso ergibt die  $n$–fache Faltung eine kausale Impulsantwort:   $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$
  • Bei kausaler Impulsantwort  $h_2(t)$  hängen aber der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion  $H_2(f)$  über die Hilbert–Transformation zusammen.  Mit der Abkürzung  $x = f/f_{\rm G}$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  gilt somit:
$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{2x^3}{x^4+2 x^2+1}\hspace{0.05cm}.$$