Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier

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Vier kausale Zeitsignale

Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:

$$X(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen (Diracfunktionen).

Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:

  • die Diracfunktion  $a(t)$,
  • die Sprungfunktion  $b(t)$,
  • die Rechteckfunktion  $c(t)$,
  • die Rampenfunktion  $d(t)$.


Die  Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation  gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei  $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$  zu setzen ist:

  • Zum Beispiel lautet der  Verschiebungssatz  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals  $a(t) = \delta(t)$?

$A_{\rm L}(p) = 1$.
$A(f) = \delta(f)$.
$A(f) = 1$.

2

Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$?

$B_{\rm L}(p) = 1/p$.
$B(f) = 1/({\rm j} \cdot 2 \pi f)$
$B(f) = 1/2 \cdot \delta(f) - {\rm j}/(2 \pi f)$.

3

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion  $c(t)$?

$C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
$C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
$C(f) = C_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.

4

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion  $d(t)$?

$D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
$D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
$D(f) = D_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt, so erhält man:
$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Richtig sind wieder die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  Integrationssatz  anwenden:
$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot {1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem  Verschiebungssatz:
$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ] \hspace{0.05cm} .$$
  • Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das  Fourierspektrum:
$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1, da gilt:

$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$
  • Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
  • $D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.