Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen

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Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen

Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

  • Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  ($i = 0, 1, 2$).
  • Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
  • Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.


Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k)$.

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.




Hinweise:

  • Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

2

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 02}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

3

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 12}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

4

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?

Ja.
Nein.

5

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

$\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
$\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
$\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.


Musterlösung

Entscheidungsregionen

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
  • Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
  • Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.
  • Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$


(3)  Hier ist der Lösungsvorschlag 2 zutreffend:

  • Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$.
  • Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort JA ist.

  • Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Gemäß der Grafik sind alle genannten Aussagen richtig.