Aufgabe 4.11: On-Off-Keying und Binary Phase Shift Keying

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Zwei Signalraumkonstellation für OOK und BPSK

Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:

  • On–Off–Keying  (OOK), in manchen Büchern auch als Amplitude Shift Keying  (ASK) bezeichnet,
  • Binary Phase Shift Keying  (BPSK).


Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN–Kanal aus. In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):

$$p_{\rm S} = p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet

  • $d$  den Abstand der Signalraumpunkte, und
  • $\sigma_n^2 = N_0/2$  die Varianz des AWGN–Rauschens.


In den Teilfragen ab (3) wird zudem auf die mittlere Symbollenergie  $E_{\rm S}$  Bezug genommen.




Hinweise:

  • Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Wieviele Bit  $(b)$  stellt jeweils ein Symbol dar? Wie groß ist die Stufenzahl  $M$?

$b \hspace{0.35cm} = \ $

$M \ = \ $

2

Welche Darstellung zeigen die Signalraumkonstellationen?

Die Darstellung im (tatsächlichen) Bandpassbereich,
die Darstellung im (äquivalenten) Tiefpassbereich.

3

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für On–Off–Keying  abhängig von  $E_{\rm S}/N_0$?

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –4}$
$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –4}$

4

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für Binary Phase Shift Keying abhängig von  $E_{\rm S}/N_0$?

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –8}$
$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –8}$


Musterlösung

(1)  Sowohl On–Off–Keying (OOK) als auch Binary Phase Shift Keying (BPSK) sind binäre Modulationsverfahren:

$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.

  • Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell.


(3)  Die vorgegebene Gleichung lautet bei On–Off–Keying (OOK) mit

  • $d = \sqrt {E}$,
  • $E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und
  • $\sigma_n^2 = N_0/2$:
$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend gilt für $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$  ⇒  $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt Binary Phase Shift Keying (BPSK)

  • $d = 2 \cdot \sqrt {E}$,
  • $E_{\rm S} = E$,


beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$.

  • Daraus folgt:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$  ⇒  $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$