Aufgabe 4.2: Kanal–LLR bei AWGN

From LNTwww

Bedingte Gaußfunktionen

Wir betrachten zwei Kanäle  $\rm A$  und  $\rm B$ , jeweils mit

  • binärem bipolaren Eingang  $x ∈ \{+1, \, -1\}$, und
  • wertkontinuierlichem Ausgang  $y ∈ {\rm \mathcal{R}}$  (reelle Zahl).


Die Grafik zeigt für beide Kanäle

  • als blaue Kurve die Dichtefunktionen  $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1}$,
  • als rote Kurve die Dichtefunktionen  $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=-1}$.


Im  Theorieteil  wurde für diese AWGN–Konstellation der Kanal–$L$–Wert (englisch:  Channel Log Likelihood Ratio, oder kurz  Channel LLR ) wie folgt hergeleitet:

$$L_{\rm K}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}.$$

Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten  $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:

$$L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Eigenschaften weisen die in der Grafik dargestellten Kanäle auf?

Sie beschreiben die Binärübertragung bei Gaußscher Störung.
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung ist  ${\rm Q}(1/\sigma)$.
Das Kanal–LLR ist als  $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$  darstellbar.

2

Welche Konstante $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal  $\rm A$?

$K_{\rm L} \ = \ $

3

Welche Informationen liefern bei Kanal  $\rm A$  die Empfangswerte  $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$,  $y_3 = \, -1.5$  über die gesendeten Binärsymbole  $x_1, \ x_2$  bzw.  $x_3$?

$y_1 = 1.0$  sagt aus, dass wahrscheinlich  $x_1 = +1$  gesendet wurde.
$y_2 = 0.5$  sagt aus, dass wahrscheinlich  $x_2 = +1$  gesendet wurde.
$y_3 = \, -1.5$  sagt aus, dass wahrscheinlich  $x_3 = \, -1$  gesendet wurde.
Die Entscheidung  "$y_1 → x_1$"  ist sicherer als  "$y_2 → x_2$".
Die Entscheidung  "$y_1 → x_1$"  ist sicherer als  "$y_3 → x_3$".

4

Welches  $K_{\rm L}$  kennzeichnet den Kanal  $\rm B$?

$K_{\rm L} \ = \ $

5

Welche Informationen liefern bei Kanal  $\rm B$  die Empfangswerte  $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$,  $y_3 = -1.5$  über die gesendeten Binärsymbole  $x_1, \ x_2$  bzw.  $x_3$?

Für  $x_1, \ x_2, \ x_3$  wird gleich entschieden wie bei Kanal  $\rm A$.
Die Schätzung  "$x_2 = +1$"  ist viermal sicherer als bei Kanal  $\rm A$.
Die Schätzung  "$x_3 = \, -1$"  bei Kanal  $\rm A$  ist zuverlässiger als die Schätzung  "$x_2 = +1$" bei Kanal  $\rm B$.


Musterlösung

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Die Übertragungsgleichung lautet stets $y = x + n$, mit $x ∈ \{+1, \, -1\}$; $n$ gibt eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$   ⇒   Varianz $\sigma^2$ an   ⇒   AWGN–Kanal.
  • Die AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet.
  • Für jeden AWGN–Kanal ergibt sich entsprechend dem Theorieteil das Kanal–LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$.
  • Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle allerdings unterschiedlich.


(2)  Beim AWGN–Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim Kanal A ergibt sich $\sigma = 1$.

  • Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion
$$\frac{f_{\rm G}( y = \sigma)}{f_{\rm G}( y = 0)} = {\rm e} ^{ - y^2/(2\sigma^2) } \Bigg |_{\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \sigma} = {\rm e} ^{ -0.5} \approx 0.6065\hspace{0.05cm}.$$
  • Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim Kanal A:   $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 bis 4:

  • Wir geben zunächst die jeweiligen $L$–Werte von Kanal A an:
$$L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_3 = -1.5) = -3\hspace{0.05cm}. $$
  • Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
  1. Die Entscheidung für das (wahrscheinlichste) Codebit $x_i$ wird aufgrund des Vorzeichens von $L_{\rm K}(y_i)$ getroffen: $x_1 = +1, \ x_2 = +1, \ x_3 = \, -1$   ⇒   die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 sind richtig.
  2. Die Entscheidung "$x_1 = +1$" ist wegen $|L_{\rm K}(y_1)| > |L_{\rm K}(y_3)|$ zuverlässiger als die Entscheidung "$x_2 = +1$"   ⇒   Lösungsvorschlag 4 ist ebenfalls richtig.
  3. Die Entscheidung "$x_1 = +1$" ist aber weniger zuverlässig als die Entscheidung "$x_3 = \, –1$", da $|L_{\rm K}(y_1)|$ kleiner als $|L_{\rm K}(y_3)|$ ist   ⇒   Lösungsvorschlag 5 ist falsch.


Dies kann man auch so interpretieren: Der Quotient zwischen dem roten und dem blauen WDF–Wert ist bei $y_3 = \, -1.5$ größer als der Quotient zwischen dem blauen und dem roten WDF–Wert bei $y_1 = +1$.


(4)  Nach gleichen Überlegungen wie bei der Teilaufgabe (2) ergibt sich für die Streuung von Kanal B:   $\sigma = 1/2 \ \Rightarrow \ K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 8}$.


(5)  Für den Kanal B gilt:   $L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +8, \ L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +4$ und $L_{\rm K}(y_3 = \, -1.5) = \, -12$.

  • Damit ist offensichtlich, dass die beiden ersten Lösungsvorschläge zutreffen, nicht aber der dritte, weil
$$|L_{\rm K}(y_3 = -1.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} A)}| = 3 \hspace{0.5cm} <\hspace{0.5cm} |L_{\rm K}(y_2 = 0.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} B)}| = 4\hspace{0.05cm} . $$