Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm

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Impulsantwort der Kupfer-Doppelader

Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser  $d = 0.5 \ \rm mm$  soll analysiert werden.

Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge  $l = 1.5 \ \rm km$  und der Bitrate  $R = 10 \rm Mbit/s$:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} \hspace{0.05cm}.$$

Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:

$${a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
$$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$ {a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$ {a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
$$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form

$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$

darstellen, wobei

  • die Teilimpulsantwort  $h_1(t)$  auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
  • $h_2(t)$  die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.


Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil  $h_2(t)$  der Impulsantwort und das Faltungsprodukt  $h_1(t) \star h_2(t)$  ⇒   blauer Kurvenverlauf).
Dabei ist  $h_2(t)$  gleich der Koaxialkabel–Impulsantwort mit der charakteristischen Kabeldämpfung  ${a}_\star = {a}_2$.





Hinweise:

  • Die Parameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ wurden aus den  $k$–Parametern umgerechnet, wie in  Aufgabe 4.6  gezeigt.
  • Der Phasenmaßparameter  $\beta_2$  wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter  $\alpha_2$  gesetzt.
  • Der Dämpfungsanteil  ${a}_2$  und der Phasenanteil  ${b}_2$  unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
  • Auf der Seite  Diskussion der gefundenen Näherungslösung  wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
  • Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  benutzen.



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Konstante  $K$  der Impulsantwort  $h_{\rm K}(t )$.

$K \ = \ $

2

Berechnen Sie die Phasenlaufzeit  $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer  $T$.

$\tau_P/T \ = \ $

3

Wie groß ist die charakteristische Dämpfung  $a_\star$  des vergleichbaren Koaxialkabels?

$a_\star \ = \ $

$\ \rm dB$

4

Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort  $h_{\rm 1}(t )$  auf?

$h_{\rm 1}(t )$  ist eine gerade Funktion.
Das Maximum von  $h_{\rm 1}(t )$  liegt bei  $t = 0$.
Das Integral über  $h_{\rm 1}(t )$  ergibt den Wert  $2$.

5

Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion  $h_1(t ) \star h_2(t )$?

$h_1(t ) \star h_2(t )$  gibt die Verzerrungen von  $h_{\rm K}(t )$  vollständig wieder.
$h_1(t ) \star h_2(t )$  unterscheidet sich von  $h_{\rm K}(t )$  nur durch einen Faktor.


Musterlösung

(1)  Mit  $a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$  erhält man für die Konstante  $K$, die den Einfluss des Koeffizienten  $ \alpha_0$  auf die Impulsantwort angibt:

$$K = {\rm e}^{-{a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Für die Phasenlaufzeit gilt mit der angegebenen Gleichung:

$$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}= \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm µ s}\approx 7.31\, {\rm µ s}\hspace{0.05cm},$$

und auf die Symboldauer  $T = 0.1 \ µ \rm s$  bezogen:  

$${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich  $h_2(t)$, wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:

$${a}_\star ={a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}} = 2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richig sind die Aussagen 1 und 2:

  • Die Fouriertransformierte  $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$  ist reell und gerade, so dass  $h_1(t)$  ebenfalls reell und gerade ist.
  • Aufgrund der Tiefpass–Charakteristik von  $H_1(f)$  liegt das Maximum bei  $t = 0$.
  • Die letzte Aussage ist dagegen falsch:   Das Integral über  $h_1(t)$  im gesamten Zeitbereich  $ \pm \infty$  ist gleich  $H_1(f=0) = 1$.



(5)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Teilimpulsantwort  $h_1(t ) \star h_2(t )$  berücksichtigt den Einfluss von  $\alpha_1$,  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen.
  • Dagegen führt  $\alpha_0$  nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und  $\beta_1$  lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
  • Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu:   Zunächst  (bei kleinen  $t$–Werten)  ist  $h_1(t ) \star h_2(t )$  kleiner als  $h_2(t )$. Bei großen  $t$–Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
  • Das bedeutet:   $\alpha_1$  und damit auch  $h_1(t )$  bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen,  auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.