Aufgabe 5.10: DMT–Verfahren bei DSL

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Bandbreitenorganisation bei  $\rm DSL$

Wir betrachten in dieser Aufgabe ein  $\rm DSL$–System  (Digital Subscriber Line), wobei zur Modulation

  • $\rm DMT$  (Discrete Multitone Transmission)
  • mit  $N = 512$  Stützstellen


verwendet wird. In diesem Zusammenhang werden die Träger auch als „Bins” bezeichnet.

Für DSL ist festgelegt:

  • Der Trägerabstand sei  $f_0 = 4.3125\ \rm kHz$.
  • Das Signal ist gleichanteilsfrei:  $S(f = 0) = 0$.
  • Der so genannte  Nyquist–Tone  wird ebenfalls zu Null gesetzt:   $S(256 · f_0) = 0$.


Die Grafik zeigt die Bandbreitenorganisation des betrachteten Systems für positive Frequenzen:

  • Ein Übertragungsrahmen der  $\rm DMT$  setzt sich wie bei OFDM aus der Kernsymboldauer  $T$  und der Dauer  $T_{\rm G}$  des zyklischen Präfixes zusammen.  Dieses besteht aus  $N_{\rm G} = 32$  Abtastwerten.
  • Zur Synchronisation zwischen Sender und Empfänger wird nach jeweils  $68$  Rahmen ein Synchronisationsrahmen gesendet, der keine Nutzdaten enthält.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Bei DSL handelt es sich um ein Bandpass–System.
DSL wird im Basisband betrieben.

2

Welche der folgenden Aussagen trifft für das DMT–Zeitsignal zu?

Das Zeitsignal ist rein reell.
Das Zeitsignal ist rein imaginär.
Das Zeitsignal ist komplex.

3

Wie viele Bins stehen für den Upstream und den Downstream zur Verfügung?

$N_{\rm Up} \ = \ $

$N_{\rm Down} \ = \ $

4

Geben Sie die Dauer  $T$  des Kernsymbols an.

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

5

Wie groß ist die Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls?

$T_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm µ s$

6

Welcher Wert ergibt sich somit für die Rahmendauer  $T_{\rm R}$?

$T_{\rm R} \ = \ $

$\ \rm µ s$

7

Geben Sie die Nutzbitrate des gezeigten Systems für den Downstream an, wenn für alle Träger  $\rm BPSK$  verwendet wird.

$R_\text {B, Down} \ = \ $

$\ \rm kbit/s$

8

Die  $198$–te Stützstelle des (finiten) DMT–Spektrums sei mit  $1 + 3 · {\rm j}$  belegt.  Bestimmen Sie den (komplexen) Wert der  $314$–ten Stützstelle.

$\text{Re}\big[S(314 · f_0)\big] \ = \ $

$\text{Im}\big[S(314 · f_0)\big] \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Bei DSL handelt es sich um ein Basisbandsystem.
  • Im Unterschied dazu sind Mobilfunksysteme Bandpass–Systeme, die in entsprechend hohen Frequenzbereichen betrieben werden.
  • Um diese ebenfalls in der üblichen Weise betrachten zu können, ist dazu eine (äquivalente) Tiefpass–Transformation notwendig.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Das Zeitsignal ist rein reell, da der Realteil des Spektrums gerade und der Imaginärteil ungerade ist.
  • Diese Eigenschaft geht bei Bandpass–Systemen, die in das äquivalente Basisband transformiert werden müssen, durch das Abschneiden der negativen Frequenzen verloren.  Das Zeitsignal wird dadurch komplex.


(3)  Die entsprechenden Bandbreiten für die Rechnung sind aus der Grafik ablesbar:

$$N_{{\rm{Up}}} = \frac{{276\,\,{\rm kHz}} -{138\,\,{\rm kHz}}} {{4.3125\,\,{\rm kHz}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 32},$$
$$N_{{\rm{Down}}} = \frac{{1104\,\,{\rm kHz}} -{276\,\,{\rm kHz}}} {{4.3125\,\,{\rm kHz}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 192}.$$


(4)  Die Kernsymboldauer ist der Kehrwert der Grundfrequenz:

$$T = \frac{1} {f_0}= \frac{1} {{4.3125\,\,{\rm kHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 232 \,\,{\rm µ s}}.$$


(5)  Daraus ergibt sich für die Dauer des Guard–Intervalls:

$$T_{\rm G} = \frac{N_{\rm G}} {N} \cdot T = \frac{32} {512} \cdot 232 \,\,{\rm µ s} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14 \,\,{\rm µ s}}.$$


(6)  Ein Rahmen setzt sich aus Kernsymbol und zyklischem Präfix zusammen:

$$T_{\rm R} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 246 \ \rm µs}.$$


(7)  Mit den Parametern  $N_{\rm Down} = 192$,  $T_{\rm R} ≈ 246 \ \rm µ s$  und  $M = 2$  erhält man:

$$R_{\rm B,\, Down} = \frac{192 \cdot {{\rm{log}_2}(2)}}{246 \,\,{\rm µ s}} \cdot \frac {68}{69}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 768 \,\,{\rm kbit/s}}.$$
  • Hierbei ist berücksichtigt, dass ein jeder  $69.$ Rahmen nur der Synchronisation dient.


(8)  Für das DMT–Spektrum gilt allgemein:

$$S\big[(N - \mu ) \cdot f_0 \big ] = S^*(\mu \cdot f_0).$$
  • Mit  $N = 512$  und  $S(198 · f_0) = 1 + 3 · {\rm j}$  gilt somit:
$$S(314 \cdot f_0) = 1 - 3 \cdot {\rm j}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Re}[S(314 · f_0)]\hspace{0.15cm}\underline {= 1}, \hspace{0.3cm}\text{Im}[S(314 · f_0)]\hspace{0.15cm}\underline {= -3}.$$