Aufgabe 5.4: Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF)

From LNTwww

Hadamard–Matrix  ${\mathbf{H}_{8}}$

Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte  Walsh–Funktionen, die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix

$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$

lassen sich durch folgende Rekursion die weiteren Hadamard–Matrizen  $ {\mathbf{H}_{4}}$,  $ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:

$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Matrix  $ {\mathbf{H}_{8}}$  für den Spreizfaktor  $J = 8$.  Daraus lassen sich die Spreizfolgen

$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$...$$
$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$$

für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen.  Die Spreizfolge  $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$  entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.

Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor  $J = 4$.  Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen  $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$,  $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$  und  $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$  maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.

Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:

  • Die  periodische Kreuzkorrelationsfunktion  (PKKF) zwischen den Folgen  $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$  und  $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$  wird mit  $φ_{ij}(λ)$  bezeichnet.  Hierbei gilt:
$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Ist  $φ_{ij} \equiv 0$  $($das heißt:  $φ_{ij}(λ) = 0$  für alle Werte von  $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
  • Gilt zumindest  $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb  $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$  zu keinen Interferenzen.
  • Die  periodische Autokorrelationsfunktion  (PAKF) der Walsh–Funktion  $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$  wird mit  $φ_{ii}(λ)$  bezeichnet, und es gilt:
$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:

  • Die Abszisse ist auf die Chipdauer  $T_c$  normiert.  Das bedeutet, dass  $λ = 1$  eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit  $τ = T_c$  beschreibt.


Fragebogen

1

Wie lauten die Spreizfolgen für  $J = 4$?

$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,
$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,
$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1$.

2

Welche Aussagen gelten bezüglich der PKKF–Werte  $φ_{ij}(λ = 0)$?

Für $J = 4$  ist  $φ_{12}(λ = 0) = 0$.
Für $J = 4$  ist  $φ_{13}(λ = 0) = 0$.
Für $J = 4$  ist  $φ_{23}(λ = 0) = 0$.
Für $J = 8$  kann durchaus  $φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$  gelten  $(i ≠ j)$.
Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.

3

Welche Aussagen gelten für die PKKF–Werte mit  $λ ≠ 0$?

Für alle Werte von  $λ$  ist die PKKF  $φ_{12}(λ) = 0$.
Für alle Werte von  $λ$  ist die PKKF  $φ_{13}(λ) = 0$.
Für alle Werte von  $λ$  ist die PKKF  $φ_{23}(λ) = 0$.
Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.

4

Welche Aussagen gelten für die PAKF–Kurven?

Alle  $φ_{ii}(λ)$–Kurven sind periodisch.
Es gilt  $φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$  und  $φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$.
Es gilt  $φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$.
Es gilt  $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.


Musterlösung

(1)  Alle Vorschläge sind richtig:

  • Die Matrix  $ {\mathbf{H}_{4}}$  ist die linke obere Teilmatrix von  $ {\mathbf{H}_{8}}$.
  • Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von  $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3:

  • Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:
$${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$
  • Auch für größere Werte von  $J$  ist für  $i ≠ j$  der PKKF–Wert stets  $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
  • Daraus folgt:   Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.



(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Für alle Werte von  $λ$  ist die PKKF  $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$\langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
Verschiedene PKKF– und PAKF–Kurven
  • Das gleiche gilt für die PKKF  $φ_{13}(λ)$.
  • Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen  $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$  und  $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  • Das bedeutet:   Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
  • In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet  (violett und rot).


(4)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • Da die Walsh–Funktion Nr.  $1$  periodisch ist mit  $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit  $λ = 2$.
  • Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt  (grüner Kurvenzug):
$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
  • Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr.  $2$  und  $3$  nur durch eine Verschiebung um  $T_c$  unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag  $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.  Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
  • Dagegen unterscheidet sich  $φ_{22}(λ)$  von  $φ_{11}(λ)$  durch eine andere Periodizität:   $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$  ist doppelt so breit wie  $φ_{11}(λ)$.