Aufgabe 5.6Z: Nochmals Filterdimensionierung

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Gewünschte AKF  $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$

Mit Hilfe eines nichtrekursiven digitalen Filters erster Ordnung soll eine zeitdiskrete Zufallsgröße  $\left\langle \hspace{0.05cm} {y_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  generiert werden, die folgende AKF-Werte aufweist:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$

Hierbei bezeichnet  $\varphi_1$  einen (in bestimmten Grenzen) frei wählbaren Parameter.

Weiter gelte:

  • Die zeitdiskreten Eingangswerte  $x_\nu$  sind gaußverteilt mit Mittelwert  $m_x$  und Streuung  $\sigma_x$.
  • Für die gesamte Aufgabe gilt  $\sigma_x= 1$.  Der Mittelert sei zunächst  $m_x = 0$.
  • In der Teilaufgabe  (4)  gelte  $m_x = 1$.


Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Filterkoeffizienten  $a_0$  und  $a_1$:

$$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1, \hspace{0.5cm} a_0 \cdot a_1 = \varphi_1 .$$




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lauten die zulässigen Grenzwerte für  $\varphi_1$, damit das Gleichungssystem lösbar ist?

$\varphi_\text{1, max} \ = \ $

$\varphi_\text{1, min} \ = \ $

2

Es gelte  $\varphi_1= -0.3$.  Bestimmen Sie die Filterparameter  $a_0$  und  $a_1$.  Wählen Sie die Lösung mit positivem  $a_0$  und  $|a_1| < a_0$.

$a_0 \ = \ $

$a_1 \ = \ $

3

Wie ändert sich die AKF, wenn nun bei gleichen Filterkoeffizienten  $\sigma_x = 2$  gilt?  Wie groß ist insbesondere der AKF–Wert für  $k = 1 $?

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $

4

Wie ändert sich die AKF bei gleichen Filterkoeffizienten und  $\sigma_x = 2$  mit einem Gleichanteil  $m_x = 1$?  Wie groß ist nun der AKF-Wert für  $k = 1 $?

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nach einigen Umformungen kommt man zur Bestimmungsgleichung  $($mit  $u = a_0^2)$:

$$a_0 \cdot a_1 = \varphi_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_1 = \varphi_1 /a_0 ,$$
$$a_0^2 + a_1^2 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_0^2 + \varphi_1^2 /a_0^2 -1 = 0,$$
$$u = a_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u + \varphi_1^2 /u -1 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u^2 - u + \varphi_1^2 = 0.$$
  • Dies führt zu den beiden Lösungen:
$$u_{1/2} = 0.5 \pm \sqrt {0.25 - \varphi _1 ^2 } .$$
  • Reelle Lösungen gibt es nur für  $\varphi_1^2 \le 0.25$.  Das bedeutet:
$$\hspace{0.15cm}\underline {\varphi_\text{1, max} = +0.5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline {\varphi_\text{1, min} = - 0.5}.$$


(2)  Mit  $\varphi_1=-0.3$  erhält man  $u_1 = 0.9$  und  $u_2 = 0.1$.  Daraus ergeben sich folgende Parametersätze:

$$\text{Lösung 1:} \ \ a_0 = \;\;\,\sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949,\quad a_1 = - \sqrt {0.1} = - 0.316;$$
$$\text{Lösung 2:} \ \ a_0 = - \sqrt {0.9} = - 0.949,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316;$$
$$\text{Lösung 3:} \ \ a_0 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316,\quad a_1 = - \sqrt {0.9} = - 0.949;$$
$$\text{Lösung 4:} \ \ a_0 = - \sqrt {0.1} = - 0.316,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949.$$
  • Nur der erste Parametersatz erfüllt die angegebene Nebenbedingung:
$$a_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.949} \ \text{ und } \ a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.316}.$$


(3)  Wird  $\sigma_x$  verdoppelt, so erhöhen sich alle AKF-Werte um den Faktor  $4$. Insbesondere gilt dann:

$$\varphi _y( {T_{\rm A} } ) = - 0.3 \cdot 4 \hspace{0.15cm}\underline{= - 1.2}.$$


(4)  Der Gleichanteil  $m_x = 1$  am Eingang führt zu folgendem Gleichanteil im Ausgangssignal:

$$m_y = m_x \cdot ( {a_0 + a_1 } ) = 1 \cdot (0.949 -0.316) = 0.633.$$
  • Alle AKF-Werte werden deshalb gegenüber der Teilaufgabe  (3)  um   $m_y^2 \approx 0.4$  vergrößert und man erhält nun:
$$\varphi _y( {T_{\rm A} } )\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.8}.$$