WDF und VTF bei Gaußschen 2D-Zufallsgrößen

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Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt

• die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
• die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
• die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
• die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Theoretischer Hintergrund

Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

$\text{Definition:}$  Die  Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  Probability Density Function, kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:

$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

• Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
• $∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
• $X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
• Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im Theorieteil.

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$

$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$

• liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
• nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   Korrelation  verwendet man

• die  Kovarianz  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:

$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$

• den  Korrelationskoeffizienten  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 

• Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
• Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
• Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
• Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
• Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen

Für den Sonderfall  Gaußscher Zufallsgrößen  – der Name geht auf den Wissenschaftler  Carl Friedrich Gauß  zurück – können wir weiterhin vermerken:

• Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $XY$  mit Mittelwerten  $m_X = 0$  und  $m_Y = 0$  sowie dem Korrelationskoeffizienten  $ρ = ρ_{XY}$  lautet:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$

• Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
• Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
• Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$ muss in obiger Gleichung  $ρ = 0$  eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

$\text{Fazit:}$  Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF  $f_{XY}(x, y)$  folgt aus der  Unkorreliertheit  auch direkt die  statistische Unabhängigkeit:

$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) .$$

Bitte beachten Sie:

• Bei keiner anderen WDF kann aus der  Unkorreliertheit  auf die  statistische Unabhängigkeit  geschlossen werden.
• Man kann aber stets   ⇒   für jede beliebige 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  von der  statistischen Unabhängigkeit  auf die  Unkorreliertheit  schließen, weil:
• Sind zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine linearen  Abhängigkeiten  
  ⇒   sie sind dann auch unkorreliert  ⇒   $ρ = 0$.

Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen

rechts

Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$

Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:

• Kreise  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
• Ellipsen  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.

Korrelationsgerade

Als  Korrelationsgerade  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:

Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und
Korrelationsgerade  $y = K(x)$

• Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:

$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

• Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

• Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:

$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  Aufgabe 4.4  im Buch "Stochastische Signaltheorie", Teilaufgabe  (5).

Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen

Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$

Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

• Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
• Die  Korrelationsgerade  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:

• Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
• Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:

$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$

• Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
• $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF

$\text{Definition:}$  Die  2D-Verteilungsfunktion  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  eindimensionalen Verteilungsfunktion  (VTF):

$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF" und der" 2D-VTF":

• Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF" und "2D–VTF" ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:

$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$

• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$

• Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:

$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm} F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$

• Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  Normierungsbedingung  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 .$$

$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

• Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
• Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von "Musterlösung".
• Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
• Für die "1D-WDF" gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem "Reset":

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines "Reset–Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.

•  $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
•  $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

(2)  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
•  Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

(3)  Es gelten weiter die Einstellungen von (2). Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
•  Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in (2), da weiter integriert wird.

(4)  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in (3).

(5)  Stimmt die Aussage: "Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$". Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.

•  Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

(6)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?

•  Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

(7)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?

•  Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

(8)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?

•  Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
•  Bei allen Einstellungen gilt:  Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse.

(9)  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?

•  Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

(10)  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?

•  Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
•  Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
•  Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine Diracwand  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    (B)     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    (C)     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    (D)     Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF"

    (E)     Darstellungsbereich für "2D-WDF"

    (F)     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    (G)     Darstellungsbereich für "1D-WDF" bzw. "Höhenlinien"

    (H)     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF")

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung







Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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