View source for Aufgaben:Exercise 2.7: C Programs "z1" and "z2"


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen
}}

[[File:P_ID122__Sto_A_2_7.png|right|C-Programme zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen]]
Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgr&ouml;&szlig;en:

* Die Funktion &bdquo;<i>z</i>1&rdquo; erzeugt eine $M$&ndash;-stufige Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit dem Wertevorrat $\{0, 1$, ... , $M-1\}$, die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array <i>p_array</i> mit der Eigenschaft &bdquo;Float&rdquo; &uuml;bergeben. Die Funktion <i>random</i>() liefert gleichverteilte Float&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;en zwischen $0$ und $1$.
*Eine zweite Funktion <i>z</i>2 (Quelltext siehe unten) liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter $I$ und $p$ festgelegt ist. Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion <i>z</i>1.

''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Erzeugung_mehrstufiger_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]] Bezug genommen.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Es gelte $M=4$ und $p\_array = \{0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1\}$. Welches Ergebnis liefert die Funktion $z1$, wenn die Randomfunktion den Wert $x = 0.75$ zur&uuml;ckgibt?
|type="{}"}
$z1 \ =$  { 2 }


{Welche der nachfolgenden Aussagen sind bez&uuml;glich $z1$ zutreffend?
|type="[]"}
- Man könnte auf die Zuweisung &bdquo;'''x = random()'''&rdquo;  in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit  &bdquo;'''random()'''&rdquo;$ vergleichen.
+ Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich, so g&auml;be es schneller Programmrealisierungen als $z1$.
+ Der R&uuml;ckgabewert &bdquo;'''random() = 0.2'''&rdquo; f&uuml;hrt zum Ergebnis $z1= 1$.


{Welche der nachfolgenden Aussagen sind bez&uuml;glich $z2$ zutreffend?
|type="[]"}
+ Das Programm erzeugt eine <i>binomialverteilte</i> Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
-  Das Programm erzeugt eine <i>poissonverteilte</i> Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+ Mit $I = 4$ sind f&uuml;r $z2$ die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 m&ouml;glich.
+ Das Einbinden der mathematischen Bibliothek &bdquo;'''math.h'''&rdquo; ist erforderlich, da in $z2$ die Funktion &bdquo;'''pow'''&rdquo;  (Potenzieren) verwendet wird.


{Welcher Wert steht  in $p\_array[2]$ beim Aufruf mit $I = 4$ und $p = 0.25$?
|type="{}"}
$I=4,\; p = 0.25:\ \ \ \ p\_array[2] \ = $  { 0.211 3% }



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Nach dem ersten Schleifendurchlauf (<i>m</i> = 0) hat <i>summe</i> den Wert 0.2, beim n&auml;chsten (<i>m</i> = 1) gilt <i>summe</i> = 0.5. In beiden F&auml;llen ist somit die Variable <i>summe</i> kleiner als <i>x</i> = 0.75. Erst bei <i>m</i> = 2 ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: 0.9 > <i>x</i>. Somit ist <u><i>z</i>1 = 2</u>.

:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable <i>x</i> verzichten und in Zeile 8 &bdquo;summe > random()&rdquo; schreiben, so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und <i>z</i>1 h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.

:<i>z</i>1 arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil. Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten (1/<i>M</i>).

: Im ersten Durchlauf (<i>m</i> = 0) ist die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich-Abfrage nicht erf&uuml;llt; der Ausgabewert ist tatsächlich <i>z</i>1 = 1.
:Richtig sind somit die <u>Vorschläge 2 und 3</u>.

:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e, und zwar mit Wertevorrat {0, 1, 2, 3, 4}. F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit Pr(<i>z</i>2 = 0) = (1 &ndash; <i>p</i>)<sup><i>I</i></sup> ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek. Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch <i>I</i>-fache Multiplikation realisiert werden. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.

:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement <i>p_array</i>[0] vor der Programmschleife den Wert (1 &ndash; <i>p</i>)<sup><i>I</i></sup>. Im zweiten Schleifendurchlauf (<i>i</i> = 1) wird folgender Wert eingetragen:
:$${\rm p\_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1-\it p}\cdot{\rm p\_array[0]}=  \it I\cdot p\cdot(\rm 1-\it p)^{\it I-\rm 1}=\rm Pr(\it z \rm2= \rm 1) .$$

:Im zweiten Schleifendurchlauf (<i>i</i> = 2) wird die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;2&rdquo; berechnet:
:$${\rm p\_array[2]}=\frac{\it p\cdot (I-\rm 1)}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it p)}\cdot{\rm p\_array[1]}=  \left({\it I \atop {\rm 2}}\right)\cdot \it p^{\rm 2}\cdot(\rm 1-\it p)^{\rm 2}=\rm Pr(\it z \rm2= \rm 2) .$$

:Für <i>I</i> = 4 und <i>p</i> = 1/4 erhält man folgenden Zahlenwert (&bdquo;4 über 2&rdquo; ergibt 6):
:$${\rm p\_array[2]}=\rm Pr(\it z \rm 2=2)=\rm 6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16}
\hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$
{{ML-Fuß}}



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