View source for Aufgaben:Exercise 4.5Z: Tangent Hyperbolic and Inverse

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}}

[[File:P_ID3025__KC_Z_4_5_v1.png|right|frame|Tabelle $y = \tanh {(x)}$]]
Im [[Theorieteil]] wurde am Beispiel des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i> gezeigt, dass der extrinsische $L$&ndash;Wert bezüglich des $i$&ndash;ten Symbols wie folgt definiert ist:
:$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}
 \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit die Länge $n-1$.

In der [[Aufgabe A4.4]] wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$&ndash;Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
:$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
{\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2)
 \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll nun nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.

''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Kapitel 4.1]]. 
* Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>Tangens Hyperbolikus</i>. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.



===Fragebogen===
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$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
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===Musterlösung===
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'''(1)'''&nbsp; 
'''(2)'''&nbsp; 
'''(3)'''&nbsp; 
'''(4)'''&nbsp; 
'''(5)'''&nbsp; 
{{ML-Fuß}}


[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]