View source for Aufgaben:Exercise 4.10: Turbo Encoder for UMTS and LTE

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Turbocodes}}

[[File:P_ID3051__KC_A_4_10_v1.png|right|frame|UMTS/LTE–Turbocoder]]
Die Mobilfunkstandards [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS|UMTS]] und [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|LTE]] verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem in Kapitel 4.3 beschriebenen Coder.
* Der $1/n$&ndash;Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz $\underline{x}$ die Informationssequenz $\underline{u}$ als Komponente beinhaltet.
* Die Sequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion: $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$.
* Die Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ verwenden unterschiedliche Eingangssequenzen $\underline{u}$ bzw. $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet ${\rm \Pi}$ den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein $S$&ndash;Random&ndash;Interleaver.


Der wesentliche Unterschied gegenüber der bisherigen Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion $G(D)$, die durch die folgende rekursive Filterstruktur gegeben ist:

[[File:P_ID3052__KC_A_4_10b_v2.png|center|frame|Gegebene Filterstruktur]]

''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
* Erwartet werden Kenntnisse über
** die algebraische und polynomische Beschreibung von Faltungscodes &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung|Kapitel 3.2]],
** die Zustandsbeschreibung mit Zustands&ndash; und Trellisdiagramm &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm|Kapitel 3.3]].
* Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe A4.8]] und [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes|Aufgabe A4.9]].
* Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren $D$&ndash;Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt:
:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
U(D) = D+  D^2\hspace{0.05cm},$$
:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
U(D) = D+  D^8\hspace{0.05cm}.$$
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes?
|type="{}"}
${\rm Rate} \ R \ = \ ${ 0.333 3% }
${\rm Gedächtnis} \ m \ = \ ${ 3 3% }
${\rm Einflusslänge} \ \nu \ = \ ${ 9 3% }

{Wie lauten die Übertragungsfunktionen $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$?
|type="[]"}
+ Es gilt $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$.
- Es gilt $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$.

{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
|type="[]"}
- Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$
+ Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, ...)$.
+ $\underline{g}$ setzt sich bis ins Unendliche fort.

{Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort $\underline{g}$?
|type="()"}
+ Ja, mit Periodendauer $P = 7$.
- Ja, mit Periodendauer $P = 8$.
- Nein.

{Es sei nun $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen?
|type="[]"}
+ Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil.
+ Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert.
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
- Das Hamming&ndash;Gewicht der Ausgangsseqenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.

{Welche Aussagen treffen für $U(D) = D + D^8$ zu?
|type="[]"}
- Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil.
- Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert.
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Ausgangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; [[File:P_ID3060__KC_A_4_10c_v3.png|right|frame|Polynomdivision]] Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Coderate $\underline{R = 1/3}$.

Das Gedächtnis (englisch: <i>Memor</i>) ist $\underline{m = 3}$. 

Die Einflusslängen ergeben sich zu $\nu = 1, \ \nu_2 = 4$ und $\nu_3 = 4$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Gesamteinflusslänge $\underline{\nu = 9}$.


'''(2)'''&nbsp; Wie der Vergleich des [[rekursiven Filters]] auf der Angabenseite mit der [[Filterstruktur]] im Theorieteil für gebrochen&ndash;rationales $G(D)$ zeigt, ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig.


'''(3)'''&nbsp; Die Grafik verdeutlicht die Polynomdivision $G(D) = (D + D + D^3) \ / \ (D + D^2 + D^3)$. Zur Erläuterung:
* Abgebrochen ist die Darstellung mit dem Rest $D^8 + D^9 = D^7 \cdot (D + D^2)$. Damit gilt:
:$$(D^8 + D^9) \hspace{0.05cm} /\hspace{0.05cm} (1+ D^2+ D^3 ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} D^7 \cdot (D+ D^2+ D^3 + D^6) + {\rm Rest}=$$
:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} D^8+ D^9+ D^{10} + D^{13} + {\rm Rest} \hspace{0.05cm}. $$

* Die $D$&ndash;Rücktransformierte ergibt den <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} . . .\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$

* Die Impulsantwort setzt sich bis ins Unendlich fort &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist ebenfalls richtig.


'''(4)'''&nbsp; [[File:P_ID3061__KC_A_4_10d_v2.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm und Impulsantwort]] Die Impulsantwort kann wie folgt ausgedrückt werden:
:$$\underline{g}=  \Big (\hspace{0.03cm}1\hspace{0.03cm},
 \big [ \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm} \big ]_{\rm per}
  \Big ) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{P = 7}
\hspace{0.05cm}. $$

Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz $\underline{p}$ für die Informationssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
* Die Übergänge im Diagramm sind mit &bdquo;$u_i|\underline{x}_i$&rdquo; beschriftet, was gleichbedeutend ist mit &bdquo;$u_i|u_i p_i$&rdquo;. Die Paritysequenz $\underline{p}$ (= Impulsantwort $\underline{g}$) ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol.
* $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert:
:$$S_0 &#8594; [S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_5 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 ] &#8594; [S_1 &#8594; \ ... \ &#8594; S_4] &#8594; \ ... $$


'''(5)'''&nbsp; Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generator $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$. Man erkennt, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> richtig sind:
* Die vorliegende Paritysequenz $\underline{p}$ hat die gleiche Periode $P = 7$ wie die Impulsantwort $\underline{g}$.
* Das Hamming&ndash;Gewicht der (begrenzten) Eingangsfolge ist tatsächlich $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
* Der Vorschlag 4 ist falsch. Vielmehr gilt hier für die semi&ndash;infinite Ausgangssequenz: $w_{\rm H}(\underline{p}) &#8594; \infty$.

Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 &#8594; S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_5 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 &#8594; S_1$.

[[File:P_ID3062__KC_A_4_10e_v1.png|center|frame|$\underline{p} = (0, \, 1, \, 1, \, ...) \cdot \mathbf{G}$]]


'''(6)'''&nbsp; Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.

[[File:P_ID3063__KC_A_4_10f_v2.png|center|frame|$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...) \cdot \mathbf{G}$]]

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.3 Grundlegendes zu den Turbocodes^]]