View source for Mobile Communications/Probability Density of Rayleigh Fading

 
{{Header
|Untermenü=Zeitvariante Übertragungskanäle
|Vorherige Seite=Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung
|Nächste Seite=Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses
}}

== Eine sehr allgemeine Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
<br>
Im Folgenden wird zur Vereinfachung der Schreibweise auf den Zusatz &bdquo;TP&rdquo; verzichtet.&nbsp; Somit liegt das reelle Signal&nbsp; $s(t) = 1$&nbsp; am Eingang des Mobilfunkkanals an und das Ausgangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist komplexwertig.&nbsp; Zusätzliche Rauschprozesse werden ausgeschlossen.<br>

Das Funksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; kann den Empfänger über eine Vielzahl von Pfaden erreichen, wobei die einzelnen Signalanteile in unterschiedlicher Weise gedämpft und verschieden lang verzögert werden.&nbsp; Allgemein kann man für das Tiefpass&ndash;Empfangssignal ohne Berücksichtigung von thermischem Rauschen schreiben:

::<math>r(t)=  \sum_{k=1}^{K}  \alpha_{k}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \phi_{k}(t)} \cdot s(t - \tau_{k})
 \hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei sind folgende Bezeichnungen verwendet:
*Der zeitabhängige Dämpfungsfaktor auf dem&nbsp; $k$&ndash;ten Pfad ist&nbsp; $\alpha_k(t)$.<br>

*Der zeitabhängige Phasenverlauf auf dem&nbsp; $k$&ndash;ten Pfad ist&nbsp; $\phi_k(t)$.<br>

*Die zeitabhängige Laufzeit auf dem&nbsp; $k$&ndash;ten Pfad ist&nbsp; $\tau_k(t)$.<br><br>

Die Anzahl&nbsp; $K$&nbsp; der sich (zumindest geringfügig) unterscheidenden Pfade ist meist sehr groß und für eine direkte Modellierung ungeeignet. 

*Das Modell lässt sich aber entscheidend vereinfachen, wenn man jeweils Pfade mit näherungsweise gleichen Verzögerungen zusammenfasst. 
*Man unterscheidet somit nur noch&nbsp; $M$&nbsp; Hauptpfade, die durch großräumige Wegeunterschiede und damit merkliche Laufzeitunterschiede gekennzeichnet sind:

::<math>r(t)=  \sum_{m=1}^{M} \hspace{0.1cm} \sum_{n=1}^{N_m}  \alpha_{m,\hspace{0.04cm}n}(t) \cdot
 {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
 \phi_{m,\hspace{0.04cm}n}(t)}
 \cdot s(t - \tau_{m,\hspace{0.04cm}n})
 \hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden bisher angegebenen Gleichungen sind identisch.&nbsp; Eine Vereinfachung ergibt sich erst dann, wenn man für jeden Hauptpfad&nbsp; $m \in \{1, \hspace{0.04cm}\text{...}\hspace{0.04cm}, M\}$&nbsp; die&nbsp; $N_m$&nbsp; Laufzeiten, die sich durch Reflexionen an Feinstrukturen sowie eventuell durch Beugungs&ndash; und Brechungserscheinungen geringfügig unterscheiden, durch eine mittlere Laufzeit ersetzt:

::<math>\tau_{m} =  \frac{1}{N_m} \cdot  \sum_{n=1}^{N_m} \tau_{m,\hspace{0.04cm}n}
 \hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Damit erhält man folgendes Zwischenergebnis für den Mobilfunk: &nbsp; Das&nbsp; '''Empfangssignal im äquivalenten Tiefpassbereich'''&nbsp; kann dargestellt werden als

::<math>r(t)=  \sum_{m=1}^{M} z_m(t) \cdot  s(t - \tau_{m}) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
 \hspace{0.5cm} z_m(t) = \sum_{n=1}^{N_m}  \alpha_{m,\hspace{0.04cm}n}(t) \cdot
 {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm}
 \phi_{m,\hspace{0.04cm}n}(t)}
 \hspace{0.05cm}.</math>}}

== Frequenzselektives Fading vs.  nichtfrequenzselektives Fading==
<br>
Ausgehend von der soeben hergeleiteten Gleichung

::<math>r(t)=  \sum_{m=1}^{M} z_m(t) \cdot  s(t - \tau_{m}) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
 \hspace{0.5cm} z_m(t) = \sum_{n=1}^{N_m}  \alpha_{m,\hspace{0.04cm}n}(t) \cdot
 {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm}
 \phi_{m,\hspace{0.04cm}n}(t)}
 \hspace{0.05cm}</math>

können zwei wichtige Sonderfälle abgeleitet werden:
*Gibt es mehr als einen Hauptpfad&nbsp; $(M \ge 2)$, so spricht man von&nbsp; <b>Mehrwegeausbreitung</b>.&nbsp; Wie im zweiten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme|Frequenzselektive Übertragungskanäle]]&nbsp; noch gezeigt werden wird, kommt es dann&nbsp; &ndash;&nbsp; je nach Frequenz&nbsp; &ndash;&nbsp; zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung. 
*Für manche Frequenzen erweist sich die Mehrwegeausbreitung als günstig, für andere als sehr ungünstig.&nbsp; Man bezeichnet diesen Effekt als&nbsp; '''frequenzselektives Fading'''.<br>

*Bei nur einem Hauptpfad&nbsp; $(M = 1)$&nbsp; vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt&nbsp; $($auf den Index &bdquo;$m = 1$&rdquo; verzichten wir in diesem Fall$)$:

::<math>r(t)=   z(t) \cdot  s(t - \tau) 
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; bewirkt hier eine für alle Frequenzen konstante Laufzeit, die nicht weiter betrachtet werden muss. 


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; Für&nbsp; $M=1$&nbsp; gibt es keine Überlagerung von Signalanteilen mit merklichen Laufzeitunterschieden, also auch keine Frequenzabhängigkeit des Gesamtsignals:&nbsp; 

::<math>r(t)=   z(t) \cdot  s(t) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
 \hspace{0.5cm} z(t) = \sum_{n=1}^{N}  \alpha_{n}(t) \cdot
 {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot  \hspace{0.02cm}
 \phi_{n}(t)}
 \hspace{0.05cm}. </math>
Man spricht in diesem Fall 
*von&nbsp; '''nichtfrequenzselektivem Fading'''&nbsp; 
*oder&nbsp; '''Flat&ndash;Fading</i>&nbsp; 
*oder&nbsp; '''Rayleigh&ndash;Fading'''. }}

== Modellierung von nichtfrequenzselektivem Fading==
<br>
Die Grafik zeigt das Modell zur Erzeugung von nichtfrequenzselektivem Fading &nbsp; &rArr; &nbsp; Rayleigh&ndash;Fading.<br>

*Das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; ergibt sich, wenn man das Sendesignal&nbsp;  $s(t)$&nbsp; mit der Zeitfunktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; multipliziert. 
*Es sei nochmals daran erinnert, dass sich alle Signale bzw. Zeitfunktionen&nbsp; $s(t)$,&nbsp; $z(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$&nbsp; auf den äquivalenten Tiefpassbereich beziehen.


[[File:P ID2108 Mob T 1 2 S2 v2.png|center|frame|Rayleigh–Fading–Kanalmodell|class=fit]]

Wir betrachten nun die multiplikative Verfälschung&nbsp; $z(t)$&nbsp; gemäß diesem Rayleigh&ndash;Modell genauer.&nbsp; Für den komplexen Koeffizienten gilt entsprechend der letzten Seite:

::<math>z(t) = \sum_{n=1}^{N}  \alpha_{n}(t) \cdot
 {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot  \hspace{0.04cm}
 \phi_{n}(t) }= 
\sum_{n=1}^{N}  \alpha_{n}(t) \cdot
 \cos\hspace{-0.1cm}\big [ 
 \phi_{n}( t) \big ] + {\rm j}\cdot \sum_{n=1}^{N}  \alpha_{n}(t) \cdot
 \sin\hspace{-0.1cm}\big [  
 \phi_{n}( t)\big ] 
 \hspace{0.05cm}. </math>

Zu dieser Gleichung und obiger Grafik ist anzumerken:
*Die zeitabhängige Dämpfung&nbsp; $\alpha_{n}(t)$&nbsp; und die zeitabhängige Phase&nbsp; $\phi_{n}(t)$&nbsp; hängen von den Umgebungsbedingungen ab.
* $\phi_{n}(t)$&nbsp; erfasst die  geringfügig unterschiedlichen Laufzeiten auf den&nbsp; $N$&nbsp; Pfaden und den&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh–Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts| Dopplereffekt]]&nbsp; aufgrund der Bewegung.

*Die Zeitfunktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist eine komplexe Größe, deren Real&ndash; und Imaginärteil wir im Folgenden wieder mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; bezeichnen.&nbsp; 
*Eine deterministische Beschreibung der Zufallsgröße&nbsp; $z(t) = x(t)  + {\rm j}\cdot  y(t)$&nbsp; ist nicht möglich.&nbsp; Vielmehr müssen die Zeitfunktionen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$ durch stochastische Prozesse modelliert werden.

*Ist die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der&nbsp; (leicht)&nbsp; unterschiedlichen Laufzeiten hinreichend groß, so ergeben sich nach dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz zentralen Grenzwertsatz]&nbsp; hierfür &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußsche Zufallsgrößen]].

*Die beiden Komponenten&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; sind jeweils mittelwertfrei und besitzen die gleiche Varianz&nbsp; $\sigma^2$:

::<math>{\rm E}[x(t)] = {\rm E}\big[y(t)\big] = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}{\rm E}\big[x^2(t)\big] = {\rm E}\big[y^2(t)\big] = \sigma^2
 \hspace{0.05cm}.</math>

*Zu berücksichtigen ist die Orthogonität von Realteil und Imaginärteil&nbsp; (jeweils Cosinus und Sinus des gleichen Arguments).&nbsp; Damit sind die beiden Komponenten auch unkorreliert.&nbsp; Nur bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt daraus weiter die statistische Unabhängigkeit von&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$.

*Aufgrund des Dopplereffekts gibt es allerdings statistische Bindungen innerhalb des Realteils&nbsp; $x(t)$&nbsp;  und innerhalb des Imaginärteils&nbsp;  $y(t)$.&nbsp; Diese beiden Größen werden im obigen Modell durch zwei&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter| Digitale Filter]]&nbsp; erzeugt.

== Beispielhafte Signalverläufe bei Rayleigh–Fading==
<br>
Die folgenden Grafiken zeigen jeweils durch Simulation gewonnene Signalverläufe von&nbsp; $\text{100 ms}$&nbsp; Dauer und die dazugehörigen Dichtefunktionen.&nbsp; Es handelt sich um Bildschirmabzüge des Windows&ndash;Programms &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem (ehemaligen) Praktikum ''Simulation digitaler Übertragungssysteme'' an der TU München: 
*[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
*[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Nachfolgend sind beispielhafte Signalverläufe bei Rayleigh–Fading und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen dargestellt.&nbsp; Diese Zeitverläufe Darstellungen können sich wie folgt interpretiert werden:

[[File:P ID2110 Mob T 1 2 S3 v1.png|right|frame|Realteil, Imaginärteil und Phasenverlauf bei Rayleigh-Fading|class=fit]]

*Der Realteil ist gaußverteilt&nbsp; (siehe rechte obere Grafik), wie auch aus dem Zeitsignalverlauf&nbsp;  $x(t)$&nbsp; hervorgeht.&nbsp; Rot eingezeichnet ist die Gaußsche WDF $f_x(x)$ und blau das durch Simulation über&nbsp; $10\hspace{0.05cm}000$&nbsp; Abtastwerte gewonnene Histogramm.

*Eingestellt war hierfür eine&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh–Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|maximale Dopplerfrequenz]]&nbsp; von&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$.&nbsp; Deshalb gibt es statistische Bindungen innerhalb der Funktionen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Genauere Angaben zum Dopplereffekt finden Sie im nächsten Kapitel.

*Die WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; des Imaginärteils ist identisch mit&nbsp; $f_x(x)$.&nbsp; Die Varianz beträgt bei der betrachteten Konstellation jeweils&nbsp; $\sigma_x^2 =\sigma_y^2 = 0.5 \ (=\sigma^2)$.&nbsp; Zwischen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; bestehen keine statistischen Bindungen;&nbsp; die Signale sind orthogonal.

*Die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; ist gleichverteilt zwischen&nbsp; $\pm\pi$.&nbsp; Wie aus den Sprungstellen im Phasenverlauf zu erahnen ist, kann&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; auch größere Werte annehmen.&nbsp; Bei  der Histogrammerstellung wurden aber die Bereiche&nbsp; $(2k+1)\cdot \pi$&nbsp; auf den Wertebereich vo&nbsp;n $-\pi$ ... $+\pi$&nbsp; projiziert &nbsp;$(k$&nbsp; ganzzahlig$)$.

*Die gleichverteilte Phase wird anhand der (nicht dargestellten) 2D&ndash;WDF verständlich.&nbsp;  Diese ist rotationssymmetrisch und dementsprechend gibt es auch keine Vorzugsrichtung:

::<math>f_{x,\hspace{0.02cm}y}(x, y) = \frac{1}{2\pi \cdot \sigma^2} \cdot 
 {\rm e}^{  -(x^2 + y^2)/(2\sigma^2)} .</math>}}


[[File:P ID2111 Mob T 1 2 S3b v1.png|right|frame|Realteil, Imaginärteil, Betrag und Betragsquadrat bei Rayleigh-Fading|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;Fortsetzung von $\text{Beispiel 1}$
 
Diese Grafik zeigt oben nochmals 
*den Realteil&nbsp;  $x(t)$&nbsp; und den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; von&nbsp; $z(t)$&nbsp; und 
*rechts die WDF $f_x(x)$;&nbsp; die WDF $f_y(y)$ hat genau die gleiche Form. 


Darunter gezeichnet sind Verlauf und WDF 
* des Betrags&nbsp; $a(t) =\vert z(t)\vert$&nbsp; und  
*des Betragsquadrat&nbsp; $p(t) =a^2(t) =\vert z(t)\vert^2$.<br>


Aus diesen Darstellungen geht hervor:
*Der Betrag&nbsp; $a(t) =\vert z(t)\vert$&nbsp;  besitzt eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung| Rayleigh&ndash;WDF]] &nbsp;&#8658;&nbsp; daher der Name &bdquo;<i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&rdquo;:

::<math>f_a(a) =
\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{-a^2/(2\sigma^2)} \\
0  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} a\hspace{-0.05cm} \ge \hspace{-0.05cm}0,
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} a \hspace{-0.05cm}<\hspace{-0.05cm} 0. \\ \end{array}
</math>

*Für die Momente erster bzw. zweiter Ordnung und die Varianz der Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; gilt:

::<math>{\rm E}\big [a \big] = \sigma \cdot \sqrt {{\pi}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm E}\big[a^2 \big] = 2 \cdot \sigma^2</math>
::<math> \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Var}\big[a \big] = \sigma_a^2 = \sigma^2 \cdot \left ( 2 - {\pi}/{2}\right )
 \hspace{0.05cm}.  </math>

*Die WDF des Betragsquadrats&nbsp; $p(t)$&nbsp; ergibt sich durch&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]]&nbsp; der WDF $f_a(a)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_p(p)$&nbsp; ist exponentialverteilt:

::<math>f_p(p) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}
\left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)^{-1} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} {\rm e}^{-p^2\hspace{-0.05cm}/(2\sigma^2)} \\
0  \end{array} \right.\hspace{0.05cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.05cm} p \hspace{-0.05cm}\ge \hspace{-0.05cm}0,
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p\hspace{-0.05cm} < \hspace{-0.05cm}0. \\ \end{array}
</math>}}


Weitere Informationen zum&nbsp; Rayleigh&ndash;Fading&nbsp; finden Sie in der&nbsp;  [[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Rayleigh–Fading|Aufgabe 1.3]]&nbsp; und der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Nochmals_Rayleigh–Fading%3F|Aufgabe 1.3Z]].<br>

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Rayleigh–Fading|Aufgabe 1.3: Rayleigh–Fading]]

[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Nochmals_Rayleigh–Fading%3F|Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?]]



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