View source for Applets:Period Duration of Periodic Signals

{{LntAppletLink|signalPeriod_en}}  &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  
[https://www.lntwww.de/Applets:Periodendauer_periodischer_Signale '''Version with Exercises and Solutions in German''']


==Applet Descripition==
<br>
This applet draws the course and calculates the period duration&nbsp; $T_0$&nbsp; of the periodic function
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Please note: 
*The phases&nbsp; $\varphi_i$&nbsp; must be entered here in radians.&nbsp; Conversion from the input value: &nbsp; $\varphi_i \text{[in radians]} =\varphi_i \text{[in degrees]}/360 \cdot 2\pi$.
*The maximum value&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; and a signal value&nbsp; $x(t_*)$&nbsp; at a given time&nbsp; $t_*$ are also output.


==Theoretical background==
<br>
A ''periodic signal''&nbsp; $x(t)$&nbsp; is present exactly when it is not constant and for all arbitrary values of&nbsp; $t$&nbsp; and all integer values of&nbsp; $i$&nbsp; with an appropriate&nbsp; $T_{0}$&nbsp; applies: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$ 
*$T_0$&nbsp; is called the&nbsp; '''period duration''' &nbsp; and&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; the&nbsp; '''basic frequency'''.

*For a harmonic oscillation&nbsp; $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$&nbsp; applies&nbsp; $f_0 = f_1$&nbsp; and&nbsp; $T_0 = 1/f_1$,&nbsp; independent of the phase&nbsp; $\varphi_1$&nbsp; and the amplitude&nbsp; $A_1 \ne 0$.


{{BlueBox|TEXT=  
$\text{Calculation Rule: }$&nbsp; If the periodic signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; consists of two parts&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; like in this applet, then applies  for the basic frequency and the period duration with&nbsp; $A_1 \ne 0$,&nbsp; $f_1 \ne 0$,&nbsp; $A_2 \ne 0$,&nbsp; $f_2 \ne 0$:

:$$f_0 = {\rm gcd}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0.$$

Here&nbsp; $\rm gcd$&nbsp; denotes the '''greatest common divisor'''.}} 


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen: 

'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;

'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;

'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;

'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;

'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}


$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel 

'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches. 

==Exercises==

[[File:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
* First select the number&nbsp; (<b>1</b>, <b>2</b>, ... )&nbsp; of the exercise. <br>
* An exercise description is displayed.&nbsp; Parameter values are adjusted.<br>
* Solution after pressing "Show solution".<br>
* The number&nbsp; '''0'''&nbsp; corresponds to a&nbsp; "Reset":&nbsp; Same setting as at the program start. <br>
* $A_1'$&nbsp; and&nbsp; $A_2'$&nbsp; denote the signal amplitudes normalized to&nbsp; $1\ \rm V$. <br> 
* $f_0'$,&nbsp; $f_1'$&nbsp; and&nbsp; $f_2'$&nbsp; are the frequencies normalized to&nbsp; $1\ \rm kHz$.
<br clear=all>
{{BlaueBox|TEXT=  
'''(1)''' &nbsp; Consider&nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$.&nbsp; How large is the period&nbsp; $T_0$?}} 

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; due to &nbsp; $\rm{gcd}(2.0, 2.5) = 0.5$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(2)''' &nbsp; Vary&nbsp; $\varphi_1$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2$&nbsp; in the whole possible range&nbsp; 
$\pm 180^\circ$.&nbsp; How does this affect the period&nbsp; $T_0$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$&nbsp; remains the same for all&nbsp; $\varphi_1$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(3)''' &nbsp; Select the default setting &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall Parameters".&nbsp; Vary&nbsp; $A_1'$&nbsp; in the entire possible range&nbsp; $0 \le A_1' \le 1$.}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period&nbsp; $T_0 = 2.0 \ \rm ms$&nbsp; remains the same with the exception of&nbsp; $A_1' =0$.&nbsp; In the latter case:&nbsp; $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(4)''' &nbsp; Choose the default setting &nbsp; &rArr; &nbsp; "Recall Parameters"&nbsp; and vary&nbsp; $f_2'$.&nbsp; Does this affect&nbsp; $T_0$?&nbsp; Which value is the result for&nbsp; $f_2' = 0.2$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period jumps back and forth.&nbsp; For&nbsp; $f_2' = 0.2$&nbsp; the result is&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; because of $\ \rm{gcd} (2.0,0.2)=0.2$.
.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(5)''' &nbsp; Consider&nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$.&nbsp; How large is the period&nbsp; $T_0$?&nbsp; Save this setting with&nbsp; 
"Store  Parameters".
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is&nbsp;  $T_0 = 10.0 \ \rm ms$&nbsp; &nbsp; due to&nbsp; $\rm{gcd}(0.2, 2.5) = 0.1$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Select the last setting &nbsp; &rArr; &nbsp;"Recall Parameters"&nbsp; and change&nbsp; $f_2' = 0.6$.&nbsp; Save this setting with&nbsp; "Store Parameters".
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; due to &nbsp;$\rm{gcd}(0.2,0.6) = 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(7)''' &nbsp; How large is the maximum signal value&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; with the same settings?`
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$&nbsp;$x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$&nbsp; with&nbsp; $t_* = 0.3 \ \rm ms$&nbsp; and&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(8)''' &nbsp; What changes with&nbsp; $\varphi_2 = 0^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Sum of two cosine waves?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$&nbsp;$t_* = 0$,&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(9)''' &nbsp; Now consider&nbsp; $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Sum of two sine waves?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The maximum signal value is now&nbsp; $x_{\rm{max}} = 1.07 \ \rm V < A_1 + A_2$.&nbsp; 
This value results from&nbsp; $T_0 = 5.0 \ \rm ms$&nbsp; and&nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$&nbsp; or&nbsp; $t_* = 1.9 \ \rm ms$.



==Applet Manual==
[[File:Exercise_impuls.png |right|frame|Screenshot]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

'''Details zum obigen Punkt (C)'''
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;

'''Andere Möglichkeiten''':

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,

&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
<br clear = all>


==About the Authors==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2004 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ). 
*2017 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
Translated with www.DeepL.com/Translator (free version)

==Once again: Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLink|signalPeriod_en}}  &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  
[https://www.lntwww.de/Applets:Periodendauer_periodischer_Signale '''Version with Exercises and Solutions in German''']
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