View source for Modulation Methods/Quality Criteria

 
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==Ideal Distortionless System==
<br>
In all subsequent chapters, the following model will be assumed:

[[File:EN_Mod_T_1_2_S1.png |center|frame| Block diagram describing modulation and demodulation]]

The task of any message transmission system is to provide a signal&nbsp; $v(t)$&nbsp; at a spatially distant sink that differs as little as possible from the source signal &nbsp; $q(t)$&nbsp;. 

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp;  An&nbsp; '''ideal system'''&nbsp; is achieved when the following conditions hold: 
:$$v(t) = q(t) + n(t), \hspace{1cm}n(t)  \to 0.$$
This takes into account that &nbsp;$n(t) \equiv 0$&nbsp; is physically impossible due to  [[Aufgaben:1.3Z_Thermisches_Rauschen|Thermal Noise]].}}


In der Praxis werden sich die Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; nicht nur um &nbsp;$n(t)$&nbsp; unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt: 
*Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator, 
*lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten, 
*externe Störungen und zusätzliche stochastische Rauschprozesse, 
*frequenzunabhängige Dämpfung und Laufzeit. 


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; '''verzerrungsfreies System'''&nbsp; liegt vor, wenn von obiger Auflistung nur die letztgenannte Einschränkung wirksam ist: 
:$$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau) + n(t), \hspace{1cm}n(t)  \to 0.$$}}


*Durch den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$ gegenüber dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur „leiser”. 
*Auch eine Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung. 
*Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von&nbsp; $300$&nbsp; Millisekunden als sehr störend empfunden. 

==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
<br>
Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber &nbsp; $α · q(t - τ)$ &nbsp; noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal: 
:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) +  \varepsilon_{\rm St} (t).$$

Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: 
*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen &nbsp;$ε_{\rm V}(t)$, die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches&nbsp; (zeitinvariantes)&nbsp;Verhalten zeigen; 
*der stochastischen Komponente &nbsp;$ε_{\rm St}(t)$, die von der HF–Störung&nbsp; $n(t)$&nbsp; am Demodulatoreingang herrührt.&nbsp; Im Gegensatz zu &nbsp;$n(t)$&nbsp; handelt es sich bei&nbsp; $ε_{\rm St}(t)$&nbsp; jedoch meist um eine niederfrequente Rauschstörung. 


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp;  Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das&nbsp; '''Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis''' &nbsp;$ρ_v$&nbsp; an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil &nbsp;$v(t) - ε(t)$&nbsp; und Störanteil &nbsp;$ε(t)$&nbsp; definiert: 
:$$\rho_{v} = \frac{  P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon}  = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{  T_{\rm M} }
 {\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm}
P_{\varepsilon}  = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{  T_{\rm M} }
 {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$}}


Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit &nbsp;$τ$:
:$$P_{v -\varepsilon} = \overline{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$
Hierbei bezeichnet &nbsp;$P_q$&nbsp; die Leistung des Quellensignals $q(t)$: 
:$$P_{q}  =  \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

{{BlaueBox|TEXT=&nbsp;  Damit erhält man: 
:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =
 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
Im Folgenden bezeichnen wir &nbsp;$ρ_v$&nbsp; kurz als das&nbsp; '''Signal–to–Noise–Ratio'''&nbsp; (oder kurz&nbsp; ''Sinken–SNR'')&nbsp; und &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v$ als den&nbsp; '''Sinken–Störabstand''', der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus&nbsp; $(\lg)$&nbsp; in dB angegeben wird. }}


[[File:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png |right|frame|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt des (blauen) Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; und des (roten) Sinkensignals &nbsp;$v(t)$, die sich merklich voneinander unterscheiden. 

Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; auf den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α = 0.7$&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$τ = 0.1\text{ ms}$&nbsp; zurückzuführen ist. 

Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$. 

Zur Berechnung des Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; muss &nbsp;$P_ε$&nbsp; in Bezug zur Nutzleistung &nbsp;$α^2 · P_q$&nbsp; gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals &nbsp;$α · q(t - τ)$. 

Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen &nbsp;$\alpha = 0.7$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\alpha^2 \approx 0.5$&nbsp; sowie &nbsp;$P_{q} = 8\,{\rm V^2}$&nbsp; und &nbsp;${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$&nbsp; ergibt sich das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v ≈ 100$&nbsp; bzw. der Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB. }}


*Das Fehlersignal &nbsp;$ε(t)$&nbsp; – und damit auch das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems&nbsp; (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.). 
*Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten. 

==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==
<br>
Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal &nbsp;$v(t) ≠ α · q(t - τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von &nbsp;$q(t)$&nbsp; unterscheidet.&nbsp; Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und folgendem Modell aus:

[[File:EN_Mod_T_1_2_S3.png|right|frame| Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]

*Das additive Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und wird nicht berücksichtigt. 

*Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear, 
*ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vollständig beschrieben wird.
<br clear=all>
Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf: 

'''Lineare Verzerrungen'''&nbsp; entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Lineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme": 
*Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung &nbsp;$n(t)$&nbsp; stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt. 
*Solche lineare Verzerrungen werden weiter in&nbsp; ''Dämpfungsverzerrungen''&nbsp; und&nbsp; ''Phasenverzerrungen''&nbsp; unterteilt. 


'''Nichtlineare Verzerrungen'''  entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nichtlineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme": 
*Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen. 
*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor &nbsp;$K$, der mit dem Sinken–SNR in folgendem Zusammenhang steht: &nbsp; 
:$$\rho_{v} = {1}/{K^2}  \hspace{0.05cm}.$$
*Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus. 


Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos: 
*[[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]],
*[[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]],
*[[Einige_Anmerkungen_zur_Übertragungsfunktion_(Lernvideo)|Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion]]. 


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Zwei weitere Anmerkungen:}$ 
#&nbsp; Die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; sind immer dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$&nbsp; vorliegen.&nbsp; 
#&nbsp; Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.}} 


==Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell==
<br>
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten&nbsp; '''AWGN–Kanal'''&nbsp; aus, wobei die Abkürzung für &nbsp;"$\rm A$dditive $\rm W$hite $\rm G$aussian $\rm N$oise"&nbsp; steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt.&nbsp; Wir weisen Sie hier gerne auch auf das dreiteilige Lernvideo &nbsp;[[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der  AWGN-Kanal]]&nbsp; hin.

*Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen; &nbsp;$n(t)$&nbsp; besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$: 
:$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,
\hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
:Der Faktor &nbsp;$1/2$&nbsp; in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung. 
*Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte&nbsp; (das heißt:&nbsp; einseitige Betrachtungsweise)&nbsp; mit der Rauschzahl &nbsp;$F ≥ 1$&nbsp; und der absoluten Temperatur &nbsp;$θ$:
:$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} =
1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm
(Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
*Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.&nbsp; Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf &nbsp;$B$&nbsp; zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung: 
:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
*Das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$ &nbsp; &rArr; Amplitudenverteilung&nbsp; mit Störeffektivwert &nbsp;$σ_n$:
:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it
n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; zu setzen.&nbsp; Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen&nbsp; (beachten Sie:&nbsp; Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen): 
:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$


==Untersuchungen beim AWGN–Kanal==
<br>
Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.&nbsp; Wir werden dabei stets das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen: 

*Je mehr Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang. 
*$ρ_v$&nbsp; nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; monoton ab.&nbsp; Eine Vergrößerung von &nbsp;$N_0$&nbsp; kann meist durch eine größere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ausgeglichen werden. 
*Je kleiner der Parameter &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp;  des Kanals ist, um so kleiner wird &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung &nbsp;$P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$&nbsp; ist. 
*Ein breitbandigeres Quellensignal&nbsp; $($größeres &nbsp;$B_{\rm NF})$&nbsp; führt zu kleinerem &nbsp;$ρ_v$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern &nbsp; &rArr; &nbsp; mehr werden Störungen wirksam.


[[File: EN_Mod_T_1_2_S5.png |center|frame| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]] 

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
:$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$
normiert darzustellen.&nbsp; Im Folgenden bezeichnen wir&nbsp; $ξ$&nbsp;  als die&nbsp; '''Leistungskenngröße'''.}} 


Die in &nbsp;$ξ$&nbsp; zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium &nbsp;$ρ_v$&nbsp; durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;
[[File:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |right|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
:$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$

*Beim &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; gilt &nbsp;$ρ_ν = ξ$.&nbsp; Beispielsweise führen die Systemparameter
:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
:$$ {N_0} =
10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$

:zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).&nbsp; Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
:$${N_0} =
10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

*Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.&nbsp; Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.&nbsp; Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.&nbsp; 
:Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei&nbsp; [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine&nbsp;  [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] und Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; beschreibt.  

*Das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.&nbsp; Für kleine &nbsp;$ξ$&ndash;Werte ist dieses System dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; überlegen, während für &nbsp;$ξ = 10000$&nbsp; die Qualität beider Systeme gleich ist. 


Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; wird das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  im Gegensatz zum $\text{System A}$  nicht signifikant verbessert.&nbsp; Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.&nbsp; Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen. 

Meist werden die Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist: 
*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.&nbsp; Die geringere Steigung&nbsp; $($Faktor $3)$&nbsp; von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten. 
*Der Schnittpunkt der Systeme &nbsp;$\text{A}$&nbsp; und &nbsp;$\text{C}$&nbsp; verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; auf &nbsp;$10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}


==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_1.2:_Verzerrungen%3F_Oder_keine_Verzerrung%3F|Aufgabe 1.2: &nbsp;  Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?]]

[[Aufgaben:Aufgabe_1.2Z:_Linear_verzerrendes_System|Aufgabe 1.2Z: &nbsp; Linear verzerrendes System]]

[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Systemvergleich_beim_AWGN–Kanal|Aufgabe 1.3: &nbsp;  Systemvergleich beim AWGN–Kanal]]

[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Thermisches_Rauschen|Aufgabe 1.3Z: &nbsp; Thermisches Rauschen]]


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