View source for Signal Representation/Analytical Signal and its Spectral Function

 
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==Definition im Frequenzbereich==

Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen BP–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_T$ sehr viel größer als die Bandbreite des BP–Signals $x(t)$ ist.

{{Definition}}
Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
 
$$X_+(f)=\left[1+{\rm sign}(f)\right] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \rm f\ddot{u}r\; {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\; {\it f} < 0.}}\right.$$

Die so genannte '''Signumfunktion''' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich +1 und für negative $f$–Werte gleich –1. Der (beidseitige) Grenzwert liefert sign(0) = 0.

{{end}}


[[File:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]

Aus der Abbildung erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt. 






{{Beispiel}}

Das nachfolgende Bild zeigt links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des BP–Signals
 
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
 \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$

Rechts daneben ist das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals dargestellt.

[[File:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|Beispielspektrum des analytischen Signals]]

{{end}}


==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==

[[File:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|Herleitung des analytischen Signals]]
Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f$ = 0 geraden und einen ungeraden Anteil auf: $X_+(f) = X_{+g}(f) + X_{+u}(f)$. Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.

Berücksichtigt man den Zuordnungssatz der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
*Der gerade Anteil $X_{+g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem rein reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{+u}(f)$ zu einem rein imaginären.
*Es ist offensichtlich, dass $X_{+g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{+g}(t)$ gleich dem vorgegebenen BP–Signal $x(t)$ ist.
*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit y(t), so lautet das analytische Signal:
$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem Kapitel 3.3 gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die Faltungsoperation, und man erhält:
$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$


An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch [[Lineare zeitvariante Systeme]] noch eingehend behandelt wird.

{{Definition}}
Für die Hilberttransformierte H{ ... } einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
 
$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden. Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
 
$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$

{{end}}


Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 
$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

*Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für das Gleichsignal $x(t)$ = const. Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale BP–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$


Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die untere Grafik nochmals verdeutlicht. Nach der linken Darstellung (A) kommt man vom physikalischen Signal x(t) zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil j · $y(t)$ hinzufügt. Hierbei ist $y(t)$ = H[$x(t)$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit „–j · sign($f$)” angeben lässt.

[[File:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]

Die rechte Darstellung (B) ist äquivalent zu (A). Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t)$ = j · $y(t)$ ist.


==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_Tt - \phi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
* $+f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(-\text{j}\cdot \phi)$,
* $-f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(+\text{j}\cdot \phi)$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$$
 
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
 
$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{ {\rm j}( 2 \pi f_{\rm T} t
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_T = 2\pi f_T$ drehenden Zeiger. Aus Darstellungsgründen ist im folgenden Bild das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um 90° nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

[[File:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*Zum Startzeitpunkt $t$ = 0 liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\phi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\phi$ = 45°.
*Für Zeiten $t$ > 0 dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_T$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer.
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte des tatsächlichen, reellen BP–Signals $x(t)$.



==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==

Für die weitere Beschreibung gehen wir von folgendem Spektrum des analytischen Signals aus:
 
$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I$ = 3. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung aber auch kontinuierliche Spektralfunktionen angenähert werden.

[[File:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|Zeigerdiagramm mehrerer Schwingungen]]

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
 
$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}(\omega_i
\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t$ = 0 entsprechend den Amplituden $A_i$ und Phasenlagen $\phi_i$.
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t$ = 0:
$$x_+(t) = 1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ)+ 2 +1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t$ = 1 μs liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}\mu s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} \\
& =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot
\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm
e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx
1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen harmonischen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Das Interaktionsmodul [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.


==Aufgaben zum Kapitel==
[[Aufgaben:4.3 Zeigerdiagrammdarstellung|A4.3 Zeigerdiagrammdarstellung]]

[[Aufgaben:4.3Z Hilbert-Transformator|Z4.3 Hilbert-Transformator]]

[[Aufgaben:4.4 Zeigerdiagramm beim ZSB-AM|A4.4 Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]

[[Aufgaben:4.4Z Zeigerdiagramm bei ESB-AM|Z4.4 Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]

   
    4.3 Zeigerdiagrammdarstellung
    4.3Z Hilbert-Transformator
    4.4 Zeigerdiagramm beim ZSB-AM
    4.4Z Zeigerdiagramm bei ESB-AM
    4.5 Ortskurve bei ZSB-AM
    4.5Z Einfacher Phasenmodulator
    4.6 Ortskurve bei ESB-AM
    4.6Z Ortskure bei Phasenmodulation







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