Aufgaben:Exercise 1.10Z: Gaussian Band-Pass

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Gaußförmiger Bandpasskanal

Für diese Aufgabe setzen wir voraus:

• Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation (BPSK) verwendet.
• Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.

Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und die Bandbreite $\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ oft mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ übereinstimmt.

In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden. Für dessen Frequenzgang gilt:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ] +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$

Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang $H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch

• Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
• Verschieben des Spektrums um $f_{\rm T}$ nach links.

Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit $f_{\rm T} = f_{\rm M}$ für den äquivalenten TP–Frequenzgang:

$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$

Die entsprechende Zeitfunktion (Fouruerrücktransformierte) lautet:

$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$

Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$

wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind $H_{\rm MKD}(f)$ und $H_{\rm K,TP}(f)$ identisch.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Basisbandmodell für ASK und BPSK.

Fragebogen

1

Geben Sie die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 0$?

$ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} = f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.

3

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?

	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
	$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
	Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.

4

Was sollte im Hinblick auf eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit gelten?

	$f_{\rm M} = f_{\rm T}$,
	$f_{\rm M} \neq f_{\rm T}$.

Musterlösung

Solution

(1)  Für den Bandpass–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ kann geschrieben werden:

$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \left [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \right ] .$$

Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude $2$. Nach dem Faltungssatz gilt somit:

$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$

Das heißt: Die TP–Impulsantwort $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist formgleich mit der Hüllkurve der BP–Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, aber doppelt so groß.

(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

• Die erste Aussage ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt.
• Die Zeitfunktion $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist entsprechend der angegebenen Gleichung reell.
• Gleiches gilt für $h_{\rm MKD}(t)$ auch unter Berücksichtigung der $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile, da $H_{\rm MKD}(f)$ eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion ist.
• Die Grafik zeigt $H_{\rm MKD}(f)$, der auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt. Bei tiefen Frequenzen ist $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ identisch mit $H_{\rm MKD}(f)$.

Resultierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm M} = f_{\rm T}$

(3)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 4:

• Hier unterscheiden sich $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ auch bei den tiefen Frequenzen.
• $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} – f_{\rm T}$.
• Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.
• Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$. $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.

Resultierender Basisbandfrequenzgangfür $f_{\rm M} \ne f_{\rm T}$

(4)  Richtig ist natürlich die erste Antwort.