Aufgaben:Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers

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Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$

$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 135^{ \circ}},$$

$$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:

$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$

$$z_5 = 1/z_2,$$

$$z_6 = \sqrt{z_3},$$

$$z_7 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2},$$

$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
• Die Thematik wird auch im Lernvideo Rechnen mit komplexen Zahlen behandelt.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

	\(2 \cdot z_1 + z_2 =0.\)
	\(z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.\)
	\((z_1/z_2) \cdot z_3\) ist rein reell.

2

Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße \(z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4\)?

\( x_4 \ =\ \)

\( y_4 \ =\ \)

3

Berechnen Sie die komplexe Größe \(z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5\).

\( x_5 \ =\ \)

\( y_5 \ =\ \)

4

\(z_6\) hat als Quadratwurzel von \(z_3\) zwei Lösungen, beide mit dem Betrag \(|z_6| = 1\). Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von \(z_6\) an.

\( \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \) $\text{Grad}$

\( \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \) $\text{Grad}$

5

Berechnen Sie \(z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7\).

\( x_7 \ =\ \)

\( y_7 \ =\ \)

6

Geben Sie die komplexe Größe \(z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8\) an.

\( x_8 \ =\ \)

\( y_8 \ =\ \)

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler: 

\[2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.\]

• Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

\[z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{ \circ}}= -2.\]

• Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von \(z_1\) und \(z_2\) liefert: 

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{ \circ}}= -0.5.\]

• Die Multiplikation mit \(z_3 = -{\rm j} \) führt zum Ergebnis ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.

(2)  Das Quadrat von \(z_2\) hat den Betrag \(|z_2|^{2}\) und die Phase \(2 \cdot \phi_2\): 

\[z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.\]

Entsprechend gilt für das Quadrat von \(z_3\): 

\[z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.\]

Somit ist \(x_4 =\underline{ –1}\) und \(y_4 = \underline{–4}.\)

(3)  Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man: 

\[z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\big]\]

\[\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.\]

(4)  Die angegeben Beziehung für \(z_6\) kann wie folgt umgeformt werden:  \(z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.\)

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für \(z_6\) gibt, die diese Gleichung erfüllen: 

\[z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, \]

\[z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}.\]

(5)  Die komplexe Größe \(z_2\) lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung: 

\[z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.\]

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:

\[z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big].\]

Mit \({\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988\) erhält man somit: 

\[z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.\]

(6)  Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für \(z_8\): 

\[z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big] = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.\]