Modulation Methods/General Model of Modulation

1. Modulation Methods
2. Allgemeine Beschreibung
3. General Model of Modulation

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Gemeinsame Beschreibung von Amplituden– und Winkelmodulation

rechts

Bei den Beschreibungen von  Amplitudenmodulation  (AM) und  Winkelmodulation  (WM, sowohl PM als auch FM) in den beiden nächsten Kapiteln wird stets die nebenstehende Konstellation betrachtet. Der zentrale Block ist hierbei der Modulator.

Die beiden Eingangssignale und das Ausgangssignal weisen folgende Eigenschaften auf:

• Das Quellensignal  $q(t)$  ist das niederfrequente Nachrichtensignal und besitzt das Spektrum  $Q(f)$. Dieses Signal ist wert– und zeitkontinuierlich und auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ B_{\rm NF}$  begrenzt.
• Das Trägersignal  $z(t)$  ist eine harmonische Schwingung der Form

$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t - \varphi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

• Das Sendesignal  $s(t)$  ist ein höherfrequentes Signal, dessen Spektralfunktion  $S(f)$  im Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  liegt.

Das Modulatorausgangssignal  $s(t)$  hängt von beiden Eingangssignalen  $q(t)$  und  $z(t)$  ab. Die nachfolgend betrachteten Modulationsverfahren differieren ausschließlich durch unterschiedliche Verknüpfungen von  $q(t)$  und  $z(t)$.

$\text{Festlegung:}$  Die  Harmonische Schwingung  $z(t)$  ist beschreibbar durch

• die Amplitude  $A_{\rm T}$,
• die Frequenz  $f_{\rm T}$  und
• die Nullphasenlage  ${\it ϕ}_{\rm T}$ .

Während bei Anwendung von Fourierreihe und Fourierintegral meist die linke Gleichung mit Minuszeichen und  $φ_{\rm T}$  benutzt wird, ist zur Beschreibung der Modulationsverfahren die rechte Gleichung mit  ${\it ϕ}_{\rm T} = \ – φ_{\rm T}$  und Pluszeichen üblich.

Eine sehr einfache, leider nicht ganz richtige Modulatorgleichung

$\text{Definition:}$  Ausgehend von der harmonischen Schwingung (hier mit der Kreisfrequenz  $ω_{\rm T} = 2πf_{\rm T}$  geschrieben)

$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})$$

kommt man zur allgemeinen Modulatorgleichung, indem die bisher festen Schwingungsparameter als zeitabhängig angesetzt werden:

$$s(t) = a(t) \cdot \cos \big[\omega(t) \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm}.$$

$\text{!! Vorsicht !!}$  Diese allgemeine Modulatorgleichung ist sehr einfach und plakativ und trägt zum Verständnis der Modulationsverfahren bei. Leider stimmt diese Gleichung bei der Frequenzmodulation nur in Ausnahmefällen. Hierauf wird im Kapitel  Signalverläufe bei Frequenzmodulation  noch ausführlich eingegangen.

Als Sonderfälle sind in dieser Gleichung enthalten:

• Bei der Amplitudenmodulation (AM) ändert sich die zeitabhängige Amplitude  $a(t)$  entsprechend dem Quellensignal  $q(t)$, während die beiden anderen Signalparameter konstant sind:

$$\omega(t) = \omega_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm}\phi(t) = \phi_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm} a(t) = {\rm Funktion \hspace{0.15cm}von}\hspace{0.15cm}q(t) .$$

• Bei der Frequenzmodulation (FM) wird ausschließlich die momentane (Kreis–)Frequenz  $\omega(t)$  durch das Quellensignal  $q(t)$  bestimmt:

$$a(t) = A_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm}\phi(t) = \phi_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm} \omega(t)= {\rm Funktion \hspace{0.15cm}von}\hspace{0.15cm}q(t) .$$

• Bei der Phasenmodulation (PM) variiert die Phase  $\phi(t)$  entsprechend dem Quellensignal  $q(t)$:

$$a(t) = A_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm}\omega(t) = \omega_{\rm T} = {\rm const.}\hspace{0.08cm}, \hspace{0.2cm} \phi(t) = {\rm Funktion \hspace{0.15cm}von}\hspace{0.15cm}q(t) .$$

Bei diesen grundlegenden Verfahren werden also stets zwei der drei Schwingungsparameter konstant gehalten.

• Daneben gibt es auch Varianten mit mehr als einer Zeitabhängigkeit von Amplitude, Frequenz bzw. Phase.
• Ein Beispiel hierfür ist die  Einseitenbandmodulation, bei der sowohl  $a(t)$  als auch  ${\it ϕ}(t)$  vom Quellensignal  $q(t)$  beeinflusst werden.

Modulierte Signale bei digitalem Quellensignal

Bei der Beschreibung von AM, FM und PM wird meist das Quellensignal  $q(t)$  als zeit- und wertkontinuierlich angenommen. Die obigen Gleichungen lassen sich aber auch auf ein rechteckförmiges Quellensignal anwenden. $q(t)$  ist in diesem Fall zeitkontinuierlich, aber wertdiskret. Damit sind auch  Lineare digitale Modulationsverfahren  beschreibbar.

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt oben ein rechteckförmiges Quellensignal  $q(t)$    ⇒   Basisbandsignal, und darunter gezeichnet die modulierten Signale  $s(t)$, die sich bei den eben vorgestellten Modulationsverfahren ergeben.

Basisbandsignal, ASK, FSK und PSK

• Bei der Amplitudenmodulation, deren digitale Variante unter der Bezeichnung Amplitude Shift Keying (ASK) bekannt ist, ist das Nachrichtensignal in der Hüllkurve von  $s(t)$  zu erkennen.

• Im Signalverlauf der Frequency Shift Keying (FSK) werden die beiden möglichen Signalwerte von  $q(t) = +1$   bzw.   $q(t) =-1$  durch zwei unterschiedliche Frequenzen dargestellt.

• Dagegen führt die Phase Shift Keying (PSK) bei den Amplitudensprüngen des Quellensignals  $q(t)$  zu Phasensprüngen im Signal  $s(t)$, im binären Fall jeweils um  $\pm π$  (bzw. $\pm 180^\circ$).

Beschreibung von s(t) mit Hilfe des analytischen Signals

Das modulierte Signal $s(t)$ ist bandpassartig. Wie bereits im Buch „Signaldarstellung” beschrieben wurde, wird ein solches BP–Signal  $s(t)$  häufig durch das dazugehörige  analytische Signal  $s_+(t)$  charakterisiert. Zu beachten ist:

• Das analytische Signal  $s_+(t)$  erhält man aus dem reellen, physikalischen Signal  $s(t)$, indem zu diesem als Imaginärteil dessen Hilberttransformierte hinzugefügt wird:

$$s_+(t) = s(t) + {\rm j} \cdot {\rm H}\{ s(t)\}\hspace{0.05cm}.$$

• Das analytische Signal  $s_+(t)$  ist somit stets komplex. Zwischen den beiden Zeitsignalen gilt der folgende einfache Zusammenhang:

$$s(t) = {\rm Re} \big[s_+(t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals ergibt sich aus dem zweiseitigen Spektrum  $S(f)$, wenn man dieses bei positiven Frequenzen verdoppelt und für negative Frequenzen zu Null setzt:

$$S_+(f) =\big[ 1 + {\rm sign}(f)\big] \cdot S(f) = \left\{ \begin{array}{c} 2 \cdot S(f) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} f>0 \hspace{0.05cm}, \\ f<0 \hspace{0.05cm}, \\ \end{array} \hspace{1.3cm} \text{mit}\hspace{1.3cm} {\rm sign}(f) = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} f>0 \hspace{0.05cm}, \\ f<0 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Verdeutlichung des analytischen Signals im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Die obere Grafik zeigt das Spektrum  $S(f)$  eines reellen Zeitsignals  $s(t)$. Man erkennt:

• Die Achsensymmetrie der Spektralfunktion  $S(f)$  bezüglich der Frequenz  $f=0$:  

$${\rm Re}\big[S( - f)\big] = {\rm Re}\big[S(f)\big].$$

• Hätte das Spektrum des reellen Zeitsignals  $s(t)$  einen Imaginärteil, so wäre dieser punktsymmetrisch um  $f=0$:

$${\rm Im}\big[S( - f)\big] = - {\rm Im}\big[S(f)\big].$$

Unten ist das Spektrum  $S_+(f)$  des zugehörigen analytischen Signals  $s_+(t)$  dargestellt. Dieses ergibt sich aus  $S(f)$  durch

• Abschneiden der negativen Frequenzanteile:   $S_+(f) \equiv 0$  für  $f<0$,
• Verdoppeln der positiven Frequenzanteile:   $S_+(f ) = 2 \cdot S(f )$  für  $f \ge 0$.

Bis auf einen nicht praxisrelevanten Sonderfall ist das analytische Signal  $s_+(t)$  stets komplex.

Wenden wir nun diese Definitionen auf das modulierte Signal  $s(t)$  an. Im Sonderfall  $q(t) \equiv 0$  ist  $s(t)$  wie das Trägersignal  $z(t)$  eine harmonische Schwingung, und es gilt:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T}) \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \phi_{\rm T})}\hspace{0.05cm}.$$

Die zweite Gleichung beschreibt einen Drehzeiger mit folgenden Eigenschaften:

• Die Zeigerlänge kennzeichnet die Signalamplitude  $A_{\rm T}$.
• Zur Zeit  $t = 0$  liegt der Zeiger mit dem Winkel  $ϕ_{\rm T}$  in der komplexen Ebene.
• Für  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $ω_{\rm T}$  in mathematisch positive Richtung (entgegen Uhrzeigersinn).
• Die Zeigerspitze liegt stets auf einem Kreis mit dem Radius  $A_{\rm T}$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer  $T_0$.

Verdeutlichung des analytischen Signals im Zeitbereich

Die Grafik gilt für  $ϕ_{\rm T} = -45^\circ$. Um den Zusammenhang  $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$  im Querformat verdeutlichen zu können, ist die komplexe Ebene entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht:   Der Realteil ist nach oben und der Imaginärteil nach links aufgetragen.

Die einzelnen Modulationsverfahren lassen sich nun wie folgt darstellen:

• Bei der Amplitudenmodulation ändert sich die Zeigerlänge  $a(t) = |s_+(t)|$  und damit die Hüllkurve von  $s(t)$  entsprechend dem Quellensignal  $q(t)$. Die Winkelgeschwindigkeit  $ω(t)$  ist dabei konstant.
• Bei der Frequenzmodulation ändert sich die Winkelgeschwindigkeit  $ω(t)$  des rotierenden Zeigers entsprechend  $q(t)$, während die Zeigerlänge  $a(t) = A_{\rm T}$  nicht verändert wird.
• Bei der Phasenmodulation ist die Phase  $ϕ(t)$  zeitabhängig. Es bestehen viele Gemeinsamkeiten mit der Frequenzmodulation, die ebenfalls zur Klasse der Winkelmodulation zählt.

Beschreibung von s(t) mit Hilfe des äquivalenten TP-Signals

Manche Sachverhalte bezüglich der sendeseitigen Modulation und der Demodulation am Empfänger lassen sich anhand des äquivalenten Tiefpass–Signals entsprechend der Definition im Buch „Signaldarstellung” anschaulich am besten erklären.

Für dieses Signal  $s_{\rm TP}(t)$  und dessen Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  gelten die folgenden Aussagen:

Zum äquivalenten Tiefpass–Signal im Frequenzbereich

• Das Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  des äquivalenten Tiefpass–Signals erhält man aus  $S_+(f)$  durch Verschiebung um  $f_{\rm T}$  nach links und liegt somit im Bereich um die Frequenz  $f =0$:

$$S_{\rm TP}(f) = S_+(f + f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

• Für die zugehörige Zeitfunktion gilt nach dem  Verschiebungssatz:

$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{{-\rm j}\hspace{0.08cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.03cm}t }\hspace{0.05cm}.$$

Das äquivalente Tiefpass–Signal einer unmodulierten harmonischen Schwingung ist für alle Zeiten konstant – die Ortskurve besteht in diesem Sonderfall aus einem einzigen Punkt:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T}) \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \phi_{\rm T})}\hspace{0.05cm},$$

$$ s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \phi_{\rm T})}\hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Wichtiges Ergebnis:}$  Für ein amplituden– oder phasenmoduliertes Signal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  gilt dagegen:

$$s(t) = a(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi(t)) \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi (t)}\hspace{0.05cm}.$$

Die Hüllkurve  $a(t)$  und der Phasenverlauf  $ϕ(t)$  des Bandpass-Signals  $s(t)$  bleiben auch im äquivalenten TP–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  erhalten.

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt jeweils rechts das modulierte Signal  $s(t)$   ⇒   roter Signalverlauf im Vergleich zum Trägersignal  $z(t)$   ⇒   blauer Signalverlauf. Links dargestellt sind die jeweiligen äquivalenten Tiefpass–Signale  $s_{\rm TP}(t)$   ⇒   grüne Ortskurven.

Sendesignale bei Amplituden– und Winkelmodulation

Oben ist die Amplitudenmodulation beschrieben, bei der das Quellensignal  $q(t)$  in der Hüllkurve  $a(t)$  zu erkennen ist:

• Da die Nulldurchgänge des Trägers  $z(t)$  erhalten bleiben, ist  $ϕ(t) = 0$  und das äquivalente TP–Signal  $s_{\rm TP}(t) = a(t)$  reell.
• Die Herleitung dieses Sachverhalts erfolgt im Kapitel  Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten TP-Signals.

Unten ist die Winkelmodulation verdeutlicht.

• Hier ist die Hüllkurve  $a(t)$  konstant   ⇒   das äquivalente TP-Signal  $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} · e^{\rm j·ϕ(t)}$  beschreibt einen Kreisbogen.
• Die Information über das Nachrichtensignal  $q(t)$  steckt in der Lage der Nulldurchgänge von  $s(t)$.
• Genaueres hierüber finden Sie im Kapitel  Gemeinsamkeiten zwischen PM und FM

Hinweise:

• Den zeitabhängigen Verlauf von $s_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene bezeichnen wir im Folgenden als Ortskurve, während das Zeigerdiagramm den Verlauf des analytischen Signals $s_+(t)$ beschreibt.
• Der hier dargelegte Sachverhalt wird mit den Interaktionsmodulen Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals sowie Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals im Zeitbereich verdeutlicht.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.4: Zeigerdiagramm und Ortskurve

Aufgabe 1.4Z: Darstellungsformen von Schwingungen