Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Non-Recursive Filter"
Line 57: | Line 57: | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
'''(1)''' Die Impulsantwort lautet: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ | '''(1)''' Die Impulsantwort lautet: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ | ||
− | Das Maximum liegt bei $T_{\rm A}$, ⇒ $\underline{\nu = 1}$. | + | *Das Maximum liegt bei $T_{\rm A}$, ⇒ $\underline{\nu = 1}$. |
− | '''(2)''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. | + | |
− | *Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort | + | '''(2)''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. |
+ | *Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort | ||
:$$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$ | :$$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$ | ||
− | :ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang | + | :ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang |
:$$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$ | :$$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$ | ||
Line 72: | Line 73: | ||
− | '''(3)''' Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt | + | |
+ | '''(3)''' Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt | ||
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$ | ||
− | *Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. | + | *Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. |
− | *Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: :$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$ | + | *Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: |
+ | :$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$ | ||
+ | |||
− | '''(4)''' Analog zur Teilaufgabe '''(3)''' erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung: | + | '''(4)''' Analog zur Teilaufgabe '''(3)''' erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung: |
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | ||
− | *Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$. | + | *Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$. |
<b>Anderer Lösungsweg:</b> | <b>Anderer Lösungsweg:</b> | ||
− | *Die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$. | + | *Die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$. |
− | *Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe '''(2)'' den folgenden Wert: | + | *Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe '''(2)''' den folgenden Wert: |
:$$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | :$$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | ||
− | *Lässt man den Einschwingungsvorgang (abgeschlossen bei $t = T_{\rm A}$ | + | *Lässt man den Einschwingungsvorgang $($abgeschlossen bei $t = T_{\rm A})$ außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ $($Phase: $90^\circ)$ folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal: |
:$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | :$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | ||
*Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die <u>Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2</u>. | *Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die <u>Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2</u>. |
Revision as of 11:01, 9 December 2019
Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten
- $$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$
Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:
- die „Gleichfolge”
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- die „Sinusfolge” mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
- Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch Signaldarstellung.
Fragebogen
Musterlösung
- Das Maximum liegt bei $T_{\rm A}$, ⇒ $\underline{\nu = 1}$.
(2) Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$.
- Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort
- $$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$
- ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang
- $$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$
- Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:
- $$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$
- Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
(3) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$
- Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
- Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4:
- $$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$.
Anderer Lösungsweg:
- Die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$.
- Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe (2) den folgenden Wert:
- $$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$
- Lässt man den Einschwingungsvorgang $($abgeschlossen bei $t = T_{\rm A})$ außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ $($Phase: $90^\circ)$ folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
- $$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$
- Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2.