Information Theory/Further Source Coding Methods

1. Information Theory
2. Source coding - Data compression
3. Further Source Coding Methods

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The Shannon-Fano algorithm

The Huffman coding from 1952 is a special case of „entropy coding”.  It attempts to represent the source symbol  $q_μ$  by a code symbol  $c_μ$  of length  $L_μ$ , aiming for the following construction rule:

$$L_{\mu} \approx -{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu}) \hspace{0.05cm}.$$

Since  $L_μ$ , in contrast to  $-{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu})$ , is integer, this does not always succeed.

Already three years before David A. Huffman,  Claude E. Shannon  and  Robert Fano gave a similar algorithm, namely:

1.   Order the source symbols according to decreasing probabilities of occurrence (identical to Huffman).
2.   Divide the sorted characters into two groups of equal probability.
3.   The binary symbol  1  is assigned to the first group,  0  to the second (or vice versa).
4.   If there is more than one character in a group, the algorithm is to be applied recursively to this group.

$\text{Example 1:}$  As in the  introductory example for the Huffman algorithm  in the last chapter, we assume  $M = 6$  symbols and the following probabilities:

$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04 \hspace{0.05cm}.$$

Then the Shannon-Fano algorithm is:

1.   $\rm AB$   →   1x  (probability 0.54),   $\rm CDEF$   →   0x  (probability 0.46),
2.   $\underline{\rm A}$   →   11  (probability 0.30),   $\underline{\rm B}$   →   10  (probability 0.24),
3.   $\underline{\rm C}$   →   01  (probability 0.20),   $\rm DEF$ → 00x,  (probability 0.26),
4.   $\underline{\rm D}$   →   001  (probability 0.12),   $\rm EF$   →   000x  (probability 0.14),
5.   $\underline{\rm E}$   →   0001  (probability 0.10),   $\underline{\rm F}$   →   0000  (probability 0.04).

Notes:

• An „x” again indicates that bits must still be added in subsequent coding steps.
• This results in a different assignment than with Huffman coding, but exactly the same average codeword length:  Huffman coding, but exactly the same average codeword length:

$$L_{\rm M} = (0.30\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24\hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.20) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} 2 + 0.12\hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm} 3 + (0.10\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.04) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}4 = 2.4\,{\rm bit/source symbol}\hspace{0.05cm}.$$

With the probabilities corresponding to  $\text{example 1}$  , the Shannon-Fano algorithm leads to the same mean codeword length as Huffman coding.  Similarly, for many  (actually:  most)  other probability profiles, Huffman and Shannon-Fano are equivalent from an information-theoretic point of view.

However, there are definitely cases where the two methods differ in terms of (mean) codeword length, as the following example shows.

$\text{Example 2:}$  We consider  $M = 5$  symbols with the following probabilities:

$$p_{\rm A} = 0.38 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.18 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm D}= 0.15 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm E}= 0.13 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} H = 2.19\,{\rm bit/source symbol} \hspace{0.05cm}. $$

Tree structures according to Shannon-Fano or Huffman

The diagram shows the respective code trees for Shannon-Fano (left) and Huffman (right).  The results can be summarised as follows:

• The Shannon-Fano algorithm leads to the code  $\rm A$   →   11,   $\rm B$   →   10,   $\rm C$   →   01,   $\rm D$   →   001,   $\rm E$   →   000  and thus to the mean code word length

$$L_{\rm M} = (0.38 + 0.18 + 0.16) \cdot 2 + (0.15 + 0.13) \cdot 3 = 2.28\,\,{\rm bit/source symbol}\hspace{0.05cm}.$$

• Using „Huffman”, we get  $\rm A$   →   1,   $\rm B$   →   001,   $\rm C$   →   010,   $\rm D$   →   001,   $\rm E$   →   000  and a slightly smaller mean codeword length:

$$L_{\rm M} = 0.38 \cdot 1 + (1-0.38) \cdot 3 = 2.24\,\,{\rm bit/source symbol}\hspace{0.05cm}. $$

• There is no set of probabilities for which „Shannon–Fano” provides a better result than the Huffman algorithm, which always provides the best possible entropy encoder.
• The graph also shows that the algorithms proceed in different directions in the tree diagram, namely once from the root to the individual symbols  (Shannon–Fano, and secondly from the individual symbols to the root  (Huffman).

Arithmetic coding

Another form of entropy coding is arithmetic coding.  Here, too, the symbol probabilities  $p_μ$  must be known.  For the index,  $μ = 1$, ... ,  $M$. Here is a brief outline of the procedure:

• In contrast to Huffman and Shannon-Fano coding, a symbol sequence of length  $N$  is coded together in arithmetic coding. We write abbreviated  $Q = 〈\hspace{0.05cm} q_1, q_2$, ... , $q_N \hspace{0.05cm} 〉$.
• Each symbol sequence  $Q_i$  is assigned a real number interval  $I_i$  which is identified by the beginning  $B_i$  and the interval width  ${\it Δ}_i$ .
• The „code” for the sequence  $Q_i$  is the binary representation of a real number value from this interval:   $r_i ∈ I_i = \big [B_i, B_i + {\it Δ}_i\big)$.  This notation says that  $B_i$  belongs to the interval  $I_i$    (square bracket), but  $B_i + {\it Δ}_i$  just does not  (round bracket).
• It is always  $0 ≤ r_i < 1$.  It makes sense to select  $r_i$  from the interval  $I_i$  in such a way that the value can be represented with as few bits as possible.  However, there is always a minimum number of bits, which depends on the interval width  ${\it Δ}_i$  .

The algorithm for determining the interval parameters  $B_i$  and  ${\it Δ}_i$  is explained later in  $\text{example 4}$ , as is a decoding option.

• First, there is a short example for the selection of the real number   $r_i$  with regard to the minimum number of bits.
• More detailed information on this can be found in the description of  task 2.11Z.

$\text{Example 3:}$  For the two parameter sets of the arithmetic coding algorithm listed below, the following real results  $r_i$  and the following codes belong to the associated interval  $I_i$ :

• $B_i = 0.25, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.25, 0.35\big)\text{:}$

$$r_i = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 01} \in I_i \hspace{0.05cm},$$

• $B_i = 0.65, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.65, 0.75\big);$  note:   $0.75$  does not belong to the interval:

$$r_i = 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} + 1 \cdot 2^{-4} = 0.6875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 1011} \in I_i\hspace{0.05cm}. $$

However, to organise the sequential flow, one chooses the number of bits constant to  $N_{\rm Bit} = \big\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} ({1}/{\it \Delta_i})\big\rceil+1\hspace{0.05cm}. $

• With the interval width  ${\it Δ}_i = 0.10$  results  $N_{\rm Bit} = 5$.
• So the actual arithmetic codes would be   01000   and   10110 respectively.

$\text{Example 4:}$  Now let the symbol range be  $M = 3$  and let the symbols be denoted by  $\rm X$,  $\rm Y$  and  $\rm Z$:

• The character sequence  $\rm XXYXZ$   ⇒   length of the source symbol sequence:   $N = 5$.
• Assume the probabilities  $p_{\rm X} = 0.6$,  $p_{\rm Y} = 0.2$  und  $p_{\rm Z} = 0.2$.

About the arithmetic coding algorithm

The diagram shows the algorithm for determining the interval boundaries.

• First, the entire probability range  $($between  $0$  and  $1)$  is divided according to the symbol probabilities  $p_{\rm X}$,  $p_{\rm Y}$  and  $p_{\rm Z}$  into three areas with the boundaries  $B_0$,  $C_0$,  $D_0$  and  $E_0$.
• The first symbol present for coding is  $\rm X$.  Therefore, in the next step, the probability range from  $B_1 = B_0 = 0$  to  $E_1 = C_0 = 0.6$  is again divided in the ratio  $0.6$  :  $0.2$  :  $0.2$  .
• After the second symbol  $\rm X$ , the range limits are  $B_2 = 0$,  $C_2 = 0.216$,  $D_2 = 0.288$  and  $E_2 = 0.36$.  Since the symbol  $\rm Y$  is now pending, the range is subdivided between  $0.216$ ... $0.288$.
• After the fifth symbol  $\rm Z$  , the interval  $I_i$  for the considered symbol sequence  $Q_i = \rm XXYXZ$  is fixed.  A real number  $r_i$  must now be found for which the following applies::   $0.25056 ≤ r_i < 0.2592$.
• The only real number in the interval  $I_i = \big[0.25056, 0.2592\big)$, that can be represented with seven bits is  $r_i = 1 · 2^{–2} + 1 · 2^{–7} = 0.2578125$.  Thus the coder output is fixed:   0100001.

Seven bits are therefore needed for these  $N = 5$  symbols, exactly as many as with Huffman coding with the assignment $\rm X$   →   1, $\rm Y$   →   00, $\rm Z$   →   01.

• However, arithmetic coding is superior to Huffman coding when the actual number of bits used in Huffman deviates even more from the optimal distribution, for example, when a character occurs extremely frequently.
• Often, however, only the middle of the interval – in the example  $0.25488$ – is represented in binary:   0.01000010011 .... The number of bits is obtained as follows:

$${\it Δ}_5 = 0.2592 - 0.25056 = 0.00864 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.00864} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} = \left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} 115.7 \right\rceil + 1 = 8 \hspace{0.05cm}.$$

• Thus the arithmetic code for this example with  $N = 5$  input characters is:   01000010.

• The decoding process can also be explained using the above graphic. The incoming bit sequence 0100001 wird zu $r = 0.2578125$ is converted to.
• This lies in the first and second step respectively in the first area   ⇒   symbol $\rm X$, in the third step in the second area   ⇒   symbol $\rm Y$, etc.

Further information on arithmetic coding can be found in  WIKIPEDIA  and in  [BCK02].

Run–Length Coding

We consider a binary source  $(M = 2)$  with the symbol set  $\{$ $\rm A$,  $\rm B$ $\}$,  where one symbol occurs much more frequently than the other.  For example, let  $p_{\rm A} \gg p_{\rm B}$.

• Entropy coding only makes sense here when applied to  $k$–tuples.
• A second possibility is  Run-length coding  (RLC), which considers the rarer character  $\rm B$  as a separator and returns the lengths  $L_i$  der einzelnen Substrings   $\rm AA\text{...}A$  as a result.

$\text{Example 5:}$  The graphic shows an example sequence with the probabilities  $p_{\rm A} = 0.9$  and  $p_{\rm B} = 0.1$   ⇒   source entropy $H = 0.469$ bit/source symbol.

The example sequence of length  $N = 100$  contains symbol  $\rm B$  exactly ten times and symbol  $\rm A$ ninety times, i.e. the relative frequencies here correspond exactly to the probabilities.

To illustrate the run length coding

You can see from this example:

• The run length coding of this sequence results in the sequence  $ \langle \hspace{0.05cm}6, \ 14, \ 26, \ 11, \ 4, \ 10, \ 3,\ 9,\ 1,\ 16 \hspace{0.05cm} \rangle $.
• Stellt man die Längen  $L_1$, ... , $L_{10}$  mit jeweils fünf Bit dar, so benötigt man so  $5 · 10 = 50$  Bit.
• Die RLC–Datenkomprimierung ist also nicht viel schlechter als der theoretische Grenzwert, der sich entsprechend der Quellenentropie zu  $H · N ≈ 47$  Bit ergibt.
• Die direkte Anwendung einer Entropiecodierung hätte hier keine Datenkomprimierung zur Folge; man benötigt weiterhin vielmehr weiterhin  $100$  Bit.
• Auch bei der Bildung von Dreiertupeln würde man mit Huffman noch  $54$  Bit benötigen, also mehr als mit Run–Length Coding.

Das Beispiel zeigt aber auch zwei Probleme der Lauflängencodierung auf:

• Die Längen  $L_i$  der Substrings sind nicht begrenzt.  Hier muss man besondere Maßnahmen treffen, wenn eine Länge  $L_i$  größer ist als  $2^5 = 32$  $($gültig für  $N_{\rm Bit} = 5)$, zum Beispiel die Variante  Run–Length Limited Coding  (RLLC). Siehe auch  [Meck09]  und  Aufgabe 2.13.
• Endet die Folge nicht mit  $\rm B$  – was bei kleiner Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  eher der Normalfall ist, so muss man auch für das Dateiende eine Sonderbehandlung vorsehen.

Burrows–Wheeler–Transformation

Zum Abschluss dieses Quellencodier–Kapitels behandeln wir noch kurz den 1994 von  Michael Burrows  und  David J. Wheeler  veröffentlichten Algorithmus  [BW94],

• der zwar alleine keinerlei Komprimierungspotenzial besitzt,
• aber die Komprimierungsfähigkeit anderer Verfahren stark verbessert.

Beispiel zur BWT (Hintransformation)

Die Burrows–Wheeler–Transformation bewerkstelligt eine blockweise Sortierung von Daten, die in der Grafik am Beispiel des Textes  $\text{ANNAS_ANANAS}$  der Länge  $N = 12$  verdeutlicht wird:

• Zunächst wird aus dem String der Länge  $N$  eine  $N×N$–Matrix erzeugt, wobei sich jede Zeile aus der Vorgängerzeile durch zyklische Linksverschiebung ergibt.
• Danach wird die BWT–Matrix lexikografisch sortiert.  Das Ergebnis der Transformation ist die letzte Spalte   ⇒   $\text{L–Spalte}$. Im Beispiel ergibt sich  $\text{_NSNNAANAAAS}$.
• Des Weiteren muss auch der Primärindex  $I$  weitergegeben werden. Dieser gibt die Zeile der sortierten BWT–Matrix an, die den Originaltext enthält (in der Grafik rot markiert).
• Zur Bestimmung von L–Spalte und Primärindex sind natürlich keine Matrixoperationen erforderlich.  Vielmehr findet man das BWT–Ergebnis mit Zeigertechnik sehr schnell.

$\text{Außerdem ist zum BWT–Verfahren anzumerken:}$ 

• Ohne Zusatzmaßnahme   ⇒   eine nachgeschaltete „echte Kompression” – führt die BWT zu keiner Datenkomprimierung.  
• Vielmehr ergibt sich sogar eine geringfügige Erhöhung der Datenmenge, da außer den  $N$  Zeichen nun auch der Primärindex  $I$  übermittelt werden muss.
• Bei längeren Texten ist dieser Effekt aber vernachlässigbar.  Geht man von 8 Bit–ASCII–Zeichen (jeweils ein Byte) und der Blocklänge  $N = 256$  aus, so erhöht sich die Byte–Anzahl pro Block nur von  $256$  auf  $257$, also lediglich um  $0.4\%$.

Wir verweisen auf die ausführlichen Beschreibungen zur BWT in  [Abel04].

Abschließend soll noch dargestellt werden, wie der Ursprungstext aus der  $\text{L–Spalte}$ der BWT–Matrix rekonstruiert werden kann.

• Dazu benötigt man noch den Primärindex $I$, sowie die erste Spalte der BWT–Matrix.
• Diese  $\text{F–Spalte}$ (von „First”) muss nicht übertragen werden, sondern ergibt sich aus der  $\text{L–Spalte}$ (von „Last”) sehr einfach durch lexikografische Sortierung.

Beispiel zur BWT (Rücktransformation)

Die Grafik zeigt die Vorgehensweise für das betrachtete Beispiel:

• Man beginnt in der Zeile mit dem Primärindex  $I$.  Als erstes Zeichen wird das rot markierte  $\rm A$  in der  $\text{F–Spalte}$  ausgegeben.  Dieser Schritt ist in der Grafik mit einer gelben (1) gekennzeichnet.
• Dieses  $\rm A$  ist das dritte  $\rm A$–Zeichen in der  $\text{F–Spalte}$.  Man sucht nun das dritte  $\rm A$  in der  $\text{L–Spalte}$, findet dieses in der mit  (2)  markierten Zeile und gibt das zugehörige  N  der  $\text{F–Spalte}$  aus.
• Das letzte  N  der  $\text{L–Spalte}$  findet man in der Zeile  (3).  Ausgegeben wird das Zeichen der F–Spalte in der gleichen Zeile, also wieder ein  N.

Nach  $N = 12$  Decodierschritten ist die Rekonstruktion abgeschlossen.

$\text{Fazit:}$ 

• Dieses Beispiel hat gezeigt, dass die  Burrows–Wheeler–Transformation  nichts anderes ist als ein Sortieralgorithmus für Texte.  Das Besondere daran ist, dass die Sortierung eindeutig umkehrbar ist.

• Diese Eigenschaft und zusätzlich seine innere Struktur sind die Grundlage dafür, dass man das BWT–Ergebnis mittels bekannter und effizienter Verfahren wie  Huffman  (eine Form der Entropiecodierung) und  Run–Length Coding   komprimieren kann.

Anwendungsszenario für die Burrows–Wheeler–Transformation

Als Beispiel für die Einbettung der  Burrows–Wheeler–Transformation  (BWT) in eine Kette von Quellencodierverfahren wählen wir eine in  [Abel03]  vorgeschlagene Struktur.  Wir verwenden dabei das gleiche Textbeispiel  $\text{ANNAS_ANANAS}$  wie auf der letzten Seite.  Die entsprechenden Strings nach den einzelnen Blöcken sind in der Grafik ebenfalls angegeben.

Schema für die Burrows–Wheeler–Datenkompression

• Das  BWT–Ergebnis lautet:     $\text{_NSNNAANAAAS}$.  An der Textlänge  $N = 12$  hat die BWT nichts verändert, doch gibt es jetzt vier Zeichen, die identisch mit ihren Vorgängerzeichen sind  (in der Grafik rot hervorgehoben).  Im Originaltext war dies nur einmal der Fall.
• Im nächsten Block  MTF  (Move–To–Front) wird aus jedem Eingangszeichen aus der Menge  $\{$ $\rm A$,  $\rm N$,  $\rm S$,  _$\}$  ein Index  $I ∈ \{0, 1, 2, 3\}$.  Es handelt sich hierbei aber nicht um ein einfaches Mapping, sondern um einen Algorithmus, der in der  Aufgabe 1.13Z  angegeben ist.
• Für unser Beispiel lautet die MTF–Ausgangsfolge  $323303011002$, ebenfalls mit der Länge  $N = 12$.  Die vier Nullen in der MTF–Folge (in der Grafik ebenfalls mit roter Schrift) geben an, dass an diesen Stellen das BWT–Zeichen jeweils gleich ist wie sein Vorgänger.
• Bei großen ASCII–Dateien kann die Häufigkeit der  $0$  durchaus mehr als  $50\%$  betragen, während die anderen  $255$  Indizes nur selten auftreten.  Zur Komprimierung einer solchen Textstruktur eignet sich eine Lauflängencodierung (englisch:  Run–Length Coding, RLC) hervorragend.
• Der Block  RLC0  in obiger Codierungskette bezeichnet eine spezielle  Lauflängencodierung  für Nullen.  Die graue Schattierung der Nullen soll andeuten, dass hier eine lange Nullsequenz durch eine spezifische Bitfolge  (kürzer als die Nullsequenz)  maskiert wurde.
• Der Entropiecodierer  $($EC, zum Beispiel „Huffman”$)$  sorgt für eine weitere Komprimierung.  BWT  und  MTF  haben in der Codierungskette nur die Aufgabe, durch eine Zeichenvorverarbeitung die Effizienz von  RLC0  und  EC  zu steigern. Die Ausgangsdatei ist wieder binär.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.10: Shannon-Fano-Codierung

Aufgabe 2.11: Arithmetische Codierung

Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung

Aufgabe 2.12: Run–Length Coding & RLLC

Aufgabe 2.13: Burrows-Wheeler-Rücktransformation

Aufgabe 2.13Z: Kombination BWT & „Move-to-Front”