Aufgaben:Exercise 1.7Z: Overall Systems Analysis

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System with Gaussian low-passe filters and nonlinear characteristic curve

Ein Gesamtsystem  $G$  mit Eingang  $w(t)$  und Ausgang  $z(t)$  besteht aus drei Komponenten:

• Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort

$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta t_1= {0.3\,\rm ms}.$$

• Danach folgt eine Nichtlinearität mit der Kennlinie

$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} +{8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge +{4\,\rm V}}, \\ {{-4\,\rm V} < x(t) < +{4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$

⇒   Das Eingangssignal  $x(t)$  der Nichtlinearität wird um den Faktor  $2$  verstärkt und – falls nötig – auf den Bereich  $±8 \ \rm V$  begrenzt.

• Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:

$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$

Das Eingangssignal  $w(t)$  des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude  $5 \ \rm V$  und variabler (äquivalenter) Dauer  $T$:

$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/T)^2}.$$

Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer  $T$  dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang

$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$

vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite steht hierbei für „Gesamtsystem”.

Please note:

• The exercise belongs to the chapter   Some Low-Pass Functions in Systems Theory.
• Reference is made especially to the page  Gaussian low-pass filter.

Questions

1

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?

	Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen  $w(t)$  und  $z(t)$.
	$H_3(f)$  muss schmalbandiger sein als  $H_1(f)$.
	Das Signal  $x(t)$  darf betragsmäßig nicht größer sein als  $4 \ \rm V$.

2

Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer  $T$, damit die unter  (1)  genannten Bedingungen erfüllbar sind.

$T_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm ms$

3

Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f)$  an.

$K \ = \ $

$\Delta f_{\rm G} = \ $ $\ \rm kHz$

Solution

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten1 und 3:

• Die erste Aussage ist zutreffend:   Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden.
• Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen.
• Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass  $|x(t)|$  nicht größer als  $4 \ \rm V$  ist.
• Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend:   Die Bandbreite von  $H_3(f)$  hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.

(2)  Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:

$$X(f) = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2} = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.$$

• Hierbei bezeichnet  $Δf_x$  die äquivalente Bandbreite von  $X(f)$.
• Der Signalwert bei  $t = 0$  ist gleich der Spektralfläche und gleichzeitig der Maximalwert des Signals:
• Dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:

$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$

• Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:

$$\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{ \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.$$

• Die Kontrollrechnung ergibt:

$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$

(3)  Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung  $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$.

• Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:

$$\underline{K \ = \ 2}.$$

• Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:

$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow \; \; \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$