Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.Ten: QPSK Channel Capacity"

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{{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang
+
{{quiz-Header|Buchseite=Information_Theory/AWGN_Channel_Capacity_for_Discrete_Input
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID2957__Inf_A_4_10_neu.png|right|frame|Kapazitätskurven für BPSK und QPSK]]
+
[[File:EN_Inf_Z_4_10_v2.png|right|frame|Capacity curves for BPSK and QPSK]]
Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren
+
Given are the AWGN channel capacity limit curves for the modulation methods
* [[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]  (BPSK),
+
* [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]  (BPSK),
* [[Modulation_Methods/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Quaternary Phase Shift Keying]]  (4–PSK oder auch QPSK).
+
* [[Modulation_Methods/Quadratur–Amplitudenmodulation#Other_signal_space_constellations|Quaternary Phase Shift Keying]]  (4–PSK or QPSK).
  
  
Die Kanalkapazitäten   $C_\text{BPSK}$  und  $C_\text{QPSK}$  geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B} ≡ 0$  mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.
+
The channel capacities   $C_\text{BPSK}$  and  $C_\text{QPSK}$  simultaneously indicate the maximum code rate  $R_{\rm max}$ , with which the bit error probability  $p_\text{B} ≡ 0$  can be asymptotically achieved with BPSK (or QPSK) with suitable channel coding.
  
Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  in  $\rm dB$, wobei  $E_{\rm B}$  die "Energie pro Informationsbit" angibt.
+
The upper diagram shows the dependence on the parameter  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  in  $\rm dB$, where  $E_{\rm B}$  indicates the "energy per information bit".
*Für große  $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate  $R ≈ 1$.  
+
*For large  $E_{\rm B}/{N_0}$ values, the BPSK curve provides the maximum code rate  $R ≈ 1$.  
*Aus der QPSK–Kurve kann dagegen  $R ≈ 2$  abgelesen werden.
+
*From the QPSK curve, on the other hand,  $R ≈ 2$  can be read.
  
  
Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang  (jeweils mit der  Einheit "bit/Symbol"),
+
The capacitance curves for digital input (each with the unit "bit/symbol"),
* grüne Kurve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$  und
+
* green curve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$  and
* blaue Kurve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$
+
* blue curve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$
  
  
sollen in der Teilaufgabe  '''(3)'''  in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:
+
are to be related in subtask  '''(3)'''  to two Shannon limit curves, each valid for a Gaussian input distribution:
 
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
  
Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem  [[Information_Theory/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]  eine fehlerfreie Übertragung möglich ist.  Natürlich gelten für  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   bzw.   $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  unterschiedliche Randbedingungen.  Welche, das sollen Sie herausfinden.
+
The two curves simultaneously indicate the maximum code rate  $R_{\rm max}$  with which error-free transmission is possible by long channel codes according to the  [[Information_Theory/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_and_meaning_of_channel_capacity|channel coding theorem]] .  Of course, different boundary conditions apply to  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   or    $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ .  Which ones, you shall find out.
  
Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen    $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  mit der "Energie pro Symbol"  $(E_{\rm S})$.  Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:
+
On the other hand, the abscissa in the lower diagram is    $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  with the "energy per symbol"  $(E_{\rm S})$.  Notice that the two limits are not changed from the upper plot::
:$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty)  = 1 \ \rm bit/Symbol,$$
+
:$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty)  = 1 \ \rm bit/symbol,$$
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty)  = 2 \ \rm bit/Symbol.$$
+
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty)  = 2 \ \rm bit/symbol.$$
  
  
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''Hinweise:''
+
Hints:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Information_Theory/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
+
*The task belongs to the chapter  [[Information_Theory/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN channel capacity with discrete value input]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Information_Theory/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Maximale_Coderate_f.C3.BCr_QAM.E2.80.93Strukturen|Maximale Coderate für QAM-Strukturen]].  
+
*Reference is made in particular to the page  [[Information_Theory/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Maximum_code_rate_for_QAM_structures|Maximum code rate for QAM structures]].  
  
  
===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Unterscheiden sich QPSK und 4&ndash;QAM aus informationstheoretischer Sicht?
+
{Do QPSK and 4-QAM differ from an information theoretic point of view?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- Ja.
+
- Yes.
+ Nein.
+
+ No.
  
{Wie lässt sich &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; aus &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; konstruieren?
+
{How can &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; be constructed from &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Durch Verdopplung: &nbsp; $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
+
+ By doubling: &nbsp; $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
- Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
+
- Additionally by a shift to the right.
- Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
+
- Additionally by a shift to the left.
- $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; kann man aus &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp;&nbsp; nicht konstruieren.
+
- $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; cannot be constructed from &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp;&nbsp;.
  
  
{Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon&ndash;Grenzkurven?
+
{What is the relation to the Shannon boundary curves?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Es gilt &nbsp;  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
+
+ &nbsp;  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
+ Es gilt &nbsp;  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.
+
+ &nbsp;  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
- Es gilt &nbsp;  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
+
- &nbsp;  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
+ Es gilt &nbsp;  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.  
+
+ &nbsp;  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.  
  
{Wie lässt sich &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; aus &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; konstruieren?
+
{How can &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; be constructed from &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp;?
|type="[]"}
+
|type="()"}
+ Durch Verdopplung: &nbsp; $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$.
+
+ By doubling: &nbsp; $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; and Additionally by a shift to the right.
+ Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
+
- By doubling: &nbsp; $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; and Additionally by a shift to the left.
- Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
+
- $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; cannot be constructed from &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp;.
- $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; kann man aus &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; nicht konstruieren.
 
  
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
[[File:P_ID2958__Inf_A_4_10a.png|right|frame|QPSK– und 4&ndash;QAM–Signalraumkonstellation]]
 
[[File:P_ID2958__Inf_A_4_10a.png|right|frame|QPSK– und 4&ndash;QAM–Signalraumkonstellation]]
'''(1)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für
+
'''(1)'''&nbsp; The diagram shows the signal space constellations for
* <i>Quaternary Phase Shift Keying</i>&nbsp; (QPSK), und
+
* <i>Quaternary Phase Shift Keying</i>&nbsp; (QPSK), and
* vierstufige Quadraturamplitudenmodulation&nbsp; (4&ndash;QAM).
+
* four-level quadrature amplitude modulation&nbsp; (4&ndash;QAM).
  
  
Letztere wird auch als&nbsp; [[Information_Theory/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|&pi;/4&ndash;QPSK]]&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort NEIN</u>.
+
The latter is also referred to as&nbsp; [[Information_Theory/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_and_meaning_of_channel_capacity|&pi;/4&ndash;QPSK]]&nbsp;.&nbsp; Both are identical from an information-theoretic point of view &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>answer NO</u>.
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:  
+
'''(2)'''&nbsp; Correct is the <u>proposed solution 1</u>:  
*Die 4&ndash;QAM kann man als zwei BPSK&ndash;Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; in beiden Fällen gleich ist.  
+
*The 4&ndash;QAM can be viewed as two BPSK constellations in orthogonal planes, where the energy per information bit&nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; is the same in both cases.
*Da entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die 4&ndash;QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
+
*Since, according to subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; the 4&ndash;QAM is identical to the QSPK, in fact:
 
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
 
:$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
  
  
  
'''(3)'''&nbsp; In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon&ndash;Grenzkurven zusammen mit &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; skizziert:
+
'''(3)'''&nbsp; In the lower graph, the two Shannon boundary curves given are sketched together with &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; and &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp;:
 
 
 
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
 
:$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
[[File:P_ID2959__Inf_A_4_1c.png|right|frame|Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen]]
+
[[File:EN_Inf_Z_4_10c_v2.png|right|frame|Four capacity curves with different statements]]
Man erkennt aus dieser  Skizze: &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>.
+
One can see from this sketch: &nbsp; <u>Proposed solutions 1, 2 and 4</u> are correct.
*Die grün&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_1( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gilt für den AWGN&ndash;Kanal mit gaußverteiltem Eingang.&nbsp;  
+
*The green&ndash;dashed curve &nbsp;$C_1( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; is valid for the AWGN channel with Gaussian distributed input.&nbsp;  
*Für die Coderate&nbsp; $R =1$&nbsp; sind nach dieser Kurve &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich.&nbsp;
+
*For code rate&nbsp; $R =1$&nbsp;, &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; is required according to this curve. &nbsp;
* Für&nbsp; $R =2$&nbsp; benötigt man dagegen &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm  dB$.
+
*For&nbsp; $R =2$&nbsp;, on the other hand &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm  dB$ is required.
*Die blau&ndash;gestrichelte Kurve &nbsp;$C_2( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gibt die Shannon&ndash;Grenze für&nbsp; $K=2$&nbsp; parallele Gaußkanäle an.&nbsp; Hier benötigt man&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm  dB$&nbsp;  für &nbsp;$R =1$&nbsp; bzw. &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; für &nbsp;$R =2$.
+
*The blue&ndash;dashed curve &nbsp;$C_2( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; gives the Shannon limit for&nbsp; $K=2$&nbsp; parallel Gaussian channels.&nbsp; Here one needs&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm  dB$&nbsp;  for &nbsp;$R =1$&nbsp; or &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; for &nbsp;$R =2$.
* Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von &nbsp;$C_1$&nbsp; und damit natürlich auch unterhalb von &nbsp;$C_2 > C_1$.
+
* The one&ndash;dimensional BPSK is below &nbsp;$C_1$&nbsp; in the entire range and thus, of course, below &nbsp;$C_2 > C_1$.
* Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve &nbsp;$C_2$.&nbsp; Sie liegt aber im unteren Bereich&nbsp; $($bis nahezu &nbsp;$\text{6 dB)}$&nbsp; oberhalb von &nbsp;$C_1$.
+
* As expected, the two&ndash;dimensional QPSK lies below the &nbsp;$C_2$ limit curve relevant for it.&nbsp; However, it is above&nbsp;$C_1$ in the lower range &nbsp; $($up to almost &nbsp;$\text{6 dB)}$&nbsp;.
  
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&ndash;Kurve kann ebenfalls aus &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; konstruiert werden und zwar
+
'''(4)'''&nbsp; The &nbsp;$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ curve can also be constructed from &nbsp;$C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$, namely
* zum einen durch Verdopplung:
+
* on the one hand by doubling:
 
:$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
:$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$   
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$   
* sowie durch eine Verschiebung um&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; nach rechts:
+
* as well as by a shift of&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; to the right:
 
:$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
:$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0})  
 
=
 
=
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
 
2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
*Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>.&nbsp; Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur &nbsp;$E_{\rm S}/2$&nbsp; beträgt.
+
*The&nbsp; <u>proposed solution 1</u>&nbsp; is correct.&nbsp; This takes into account that with QPSK the energy in one dimension is only  &nbsp;$E_{\rm S}/2$.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Latest revision as of 10:29, 10 November 2021

Capacity curves for BPSK and QPSK

Given are the AWGN channel capacity limit curves for the modulation methods


The channel capacities  $C_\text{BPSK}$  and  $C_\text{QPSK}$  simultaneously indicate the maximum code rate  $R_{\rm max}$ , with which the bit error probability  $p_\text{B} ≡ 0$  can be asymptotically achieved with BPSK (or QPSK) with suitable channel coding.

The upper diagram shows the dependence on the parameter  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  in  $\rm dB$, where  $E_{\rm B}$  indicates the "energy per information bit".

  • For large  $E_{\rm B}/{N_0}$ values, the BPSK curve provides the maximum code rate  $R ≈ 1$.
  • From the QPSK curve, on the other hand,  $R ≈ 2$  can be read.


The capacitance curves for digital input (each with the unit "bit/symbol"),

  • green curve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$  and
  • blue curve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$


are to be related in subtask  (3)  to two Shannon limit curves, each valid for a Gaussian input distribution:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

The two curves simultaneously indicate the maximum code rate  $R_{\rm max}$  with which error-free transmission is possible by long channel codes according to the  channel coding theorem .  Of course, different boundary conditions apply to  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   or    $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ .  Which ones, you shall find out.

On the other hand, the abscissa in the lower diagram is   $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  with the "energy per symbol"  $(E_{\rm S})$.  Notice that the two limits are not changed from the upper plot::

$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/symbol,$$
$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/symbol.$$





Hints:


Questions

1

Do QPSK and 4-QAM differ from an information theoretic point of view?

Yes.
No.

2

How can  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  be constructed from  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ ?

By doubling:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
Additionally by a shift to the right.
Additionally by a shift to the left.
$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  cannot be constructed from  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  .

3

What is the relation to the Shannon boundary curves?

  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.
  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$ holds.

4

How can  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  be constructed from  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ ?

By doubling:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  and Additionally by a shift to the right.
By doubling:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  and Additionally by a shift to the left.
$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  cannot be constructed from  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ .


Solution

QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation

(1)  The diagram shows the signal space constellations for

  • Quaternary Phase Shift Keying  (QPSK), and
  • four-level quadrature amplitude modulation  (4–QAM).


The latter is also referred to as  π/4–QPSK .  Both are identical from an information-theoretic point of view   ⇒   answer NO.


(2)  Correct is the proposed solution 1:

  • The 4–QAM can be viewed as two BPSK constellations in orthogonal planes, where the energy per information bit $(E_{\rm B})$  is the same in both cases.
  • Since, according to subtask  (1)  the 4–QAM is identical to the QSPK, in fact:
$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$


(3)  In the lower graph, the two Shannon boundary curves given are sketched together with  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  and  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ :

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
Four capacity curves with different statements

One can see from this sketch:   Proposed solutions 1, 2 and 4 are correct.

  • The green–dashed curve  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$  is valid for the AWGN channel with Gaussian distributed input. 
  • For code rate  $R =1$ ,  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  is required according to this curve.  
  • For  $R =2$ , on the other hand  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$ is required.
  • The blue–dashed curve  $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  gives the Shannon limit for  $K=2$  parallel Gaussian channels.  Here one needs  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$  for  $R =1$  or  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  for  $R =2$.
  • The one–dimensional BPSK is below  $C_1$  in the entire range and thus, of course, below  $C_2 > C_1$.
  • As expected, the two–dimensional QPSK lies below the  $C_2$ limit curve relevant for it.  However, it is above $C_1$ in the lower range   $($up to almost  $\text{6 dB)}$ .



(4)  The  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ curve can also be constructed from  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$, namely

  • on the one hand by doubling:
$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$
  • as well as by a shift of  $3\ \rm dB$  to the right:
$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
  • The  proposed solution 1  is correct.  This takes into account that with QPSK the energy in one dimension is only  $E_{\rm S}/2$.