Aufgaben:Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver

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Zweiwegekanal
& RAKE

Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal  (gelbe Hinterlegung).  Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:

$$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$

Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei  $τ = 1 \ \rm µ s$.  Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers  (grüne Hinterlegung)  mit den allgemeinen Koeffizienten  $K$,  $h_0$,  $h_1$,  $τ_0$  und  $τ_1$.

Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. 

Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form

$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$

angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten  $h_0$,  $h_1$,  $τ_0$  und  $τ_1$  geeignet gewählt werden.  Der Hauptanteil von  $h_{\rm KR}(t)$  soll bei  $t = τ$  liegen.

Die Konstante  $K$  ist so zu wählen, dass die Amplitude des Hauptpfads  $A_1 = 1$  ist:

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$

Gesucht sind außer den RAKE–Parametern die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$, wenn  $s(t)$  ein Rechteck der Höhe  $s_0 = 1$  und der Breite  $T = \ \rm 5 µ s$  ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  Prinzip des RAKE-Empfängers.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$?

	$h_{\rm K}(t)$  besteht aus zwei Diracfunktionen.
	$h_{\rm K}(t)$  ist komplexwertig.
	$h_{\rm K}(t)$  ist eine mit der Verzögerungszeit  $\tau$  periodische Funktion.

2

Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$?

	Es gilt  $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
	$H_{\rm K}(f)$  ist komplexwertig.
	$|H_{\rm K}(f)|$  ist eine mit der Frequenz  $1/τ$  periodische Funktion.

3

Setzen Sie  $K = 1$,  $h_0 = 0.6$  und  $h_1 = 0.4$.  Bestimmen Sie die Verzögerungen  $τ_0$  und  $τ_1$, damit die  $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit  $A_0 = A_2$  erfüllt wird.

$τ_0 \ = \ $ $\ \rm µ s$

$τ_1 \ = \ $ $\ \rm µ s$

4

Welcher Wert ist für die Konstante  $K$  zu wählen?

$K \ = \ $

5

Welche Aussagen gelten für die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$?

	Der Maximalwert von  $r(t)$  ist  $1$.
	Die Breite von  $r(t)$  ist  $7 \ µ s$.
	Der Maximalwert von  $b(t)$  ist  $1$.
	Die Breite von  $b(t)$  ist  $7 \ µ s$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ergibt sich als das Empfangssignal  $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt   ⇒   $s(t) = δ(t)$.  Daraus folgt:

$$ h_(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$.  Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:

$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:   $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit  $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$

• Für  $f = 0$  ist  $|H_{\rm K}(f)| = 1$.  Im jeweiligen Frequenzabstand  $1/τ$  wiederholt sich dieser Wert.

(3)  Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß  $K = 1$.

• Insgesamt kommt man über vier Wege von  $s(t)$  zum Ausgangssignal  $b(t)$.
• Um die vorgegebene  $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder  $τ_0 = 0$  gelten oder  $τ_1 = 0$.  Mit  $τ_0 = 0$  erhält man für die Impulsantwort:

$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$

• Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann  $τ_1 = τ$  gewählt werden.  Mit  $h_0 = 0.6$  und  $h_1 = 0.4$  erhält man dann  $A_0 ≠ A_2$:

$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen ergibt sich mit  $h_0 = 0.6$,  $h_1 = 0.4$,  $τ_0 = τ$  und  $τ_1 = 0$:

$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$

• Hier ist die Zusatzbedingung  $A_0 = A_2$  erfüllt.  Somit lautet das gesuchte Ergebnis:

$$ \underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Für den Normierungsfaktor muss gelten:

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$

• Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort  $($es gilt $0.24/0.52 = 6/13)$:

$$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$

Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers

(5)  Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die Grafik zeigt:

• Für das Empfangssignal  $r(t)$  und für das RAKE–Ausgangssignal  $b(t)$  gilt:

$$r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm µ s})\hspace{0.05cm},$$

$$b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1 \cdot s (t - 1\,{\rm µ s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Überhöhung des Ausgangssignals   ⇒   $b(t) > 1$  ist auf den Normierungsfaktor  $K = 25/13$  zurückzuführen.
• Mit  $K = 1$  wäre der Maximalwert von  $b(t)$  tatsächlich  $1$.