Modulation Methods/Implementation of OFDM Systems

1. Modulation Methods
2. Vielfachzugriffsverfahren
3. Implementation of OFDM Systems

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OFDM using discrete Fourier transform (DFT)

We now consider again the temporally non-overlapping transmit signal frames

$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )},$$

where  $k$  indicates the frame number.  At sampling times  $k · T_{\rm R} + ν · T_{\rm A}$  with  $0 ≤ ν < N$  and  $T_{\rm A} = T/N$,  these frames have the sampling values

$$s_{\nu ,\hspace{0.08cm}k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}} {\kern 1pt}\cdot \hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{\mu}/{N}} }.$$

With the renaming  $s_{ν,\hspace{0.08cm}k} = d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  and  $a_{\mu,\hspace{0.08cm}k} = D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  the equation corresponds exactly to the  Inverse Discrete Fourier Transform  $\rm (IDFT)$  in the  $k$–th interval:

$$d_{\nu ,\hspace{0.08cm}k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot w^{ - \nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu } } \quad {\rm{with}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}}/N}.$$

Here,  $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  are the time samples and $D_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  are the discrete spectral coefficients.

The equation for the transition from the discrete time function to the discrete spectral function   ⇒    Discrete Fourier Transform  $\rm (DFT)$  is:

$$D_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} = \frac{1}{N}\cdot \sum\limits_{\nu = 0}^{N - 1} {d_{\nu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot w^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\mu } }.$$

Furthermore:

• The coefficients  $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  and  $D_{μ,\hspace{0.08cm}k}$  are periodic with the grid number  $N$.  Moreover, they are in general complex-valued.
• In principle, DFT and IDFT have the same structure and differ only by the sign in the exponent of the complex rotation factor  $w$  and the normalization factor  $1/N$  in the case of DFT.

Notes:

• The interaction module  Discrete Fourier Transform  clarifies the properties of DFT and IDFT.
• The possibility of an efficient realization of the multicarrier system results with the  Fast Fourier Transform. 
• For the use of  FFT/IFFT,  the number of interpolation points  (or samples)  in the time and frequency domain must be a power of two in each case.
• Under this condition, a calculation with the complexity  $\mathcal{O}(N · {\rm log_2} \ N)$  is possible with the different known algorithms for the implementation of the FFT.

Realization of the OFDM transmitter

Block diagram of the OFDM transmitter KORREKTUR: Input buffer

The diagram shows the block diagram for the realization of the OFDM transmitter using the Inverse Discrete Fourier Transform  $\rm (IDFT)$.

• In the  general model  at the beginning of the last chapter, this replaces the very complex parallel demodulation of the  $N$  orthogonal carriers.
• The implementation of the "IDFT" as IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) results in a further reduction in effort.

One recognizes from this diagram:

• In the input buffer, the source signal  $q(t)$  is implicitly serial/parallel  $\rm (S/P)$  converted.  After that, a signal space mapping to the  $N$  spectral coefficients  $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  is performed.  The index  $k$  again denotes the time frame.
• In  $\rm 4–QAM$ mapping, each two source symbols together yield a complex coefficient  $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$, which can take four different values.
• The spectral coefficients  $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  generated in this way are then fed to the  $\rm IDFT$ block, which generates the time domain values $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  from them.  These are again parallel/serial  $\rm (P/S)$  converted.
• After the subsequent  $\rm (D/A)$ conversion and low-pass filtering, the  $\rm OFDM$ transmitted signal  $s(t)$  is finally obtained in the equivalent low-pass range.

Realization of the OFDM receiver

Block diagram of the OFDM receiver KORREKTUR: pre-equalizer, detector and output buffer

The diagram shows the block diagram for the realization of the OFDM receiver using the  Discrete Fourier Transform  $\rm (DFT)$.

• This replaces in the  general model  (see last chapter)  the very complex parallel demodulation of the  $N$  orthogonal carriers.
• The realization of the "DFT" as  $\rm FFT$  (Fast Fourier Transform)  results in a further reduction of effort.

DThe essential steps are:

• The input signal  $r(t)$  of the receiver is first digitalized  ($\rm A/D$ conversion).  This is followed by a pre-equalization in the time domain (optional), for example by means of  Decision Feedback Equalization  $($ $\rm DFE)$  or the  Viterbi algorithm.
• It should be noted, however, that the decisive equalization takes place in the frequency domain.   This is explained in the section  OFDM equalization in the frequency domain  at the end of the chapter and is not included in the diagram above.
• After serial/parallel  $\rm (S/P)$  conversion, the discrete time values  $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  are fed to the DFT block.  The generated spectral samples  $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  are decoded by the QAM detector and implicitly parallel/serial converted in the output buffer, resulting in the sink signal  $v(t)$. 
• Note, however, that the receiver-side coefficients $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$  and  $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  may well differ from the corresponding quantities of the OFDM transmitter due to channel distortion and noise, which is not reflected in the chosen nomenclature.
• The coefficients  $\hat{a}_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  of the sink signal $v(t)$  are identical to the coefficients  $a_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$  of the source signal  $q(t)$  only in the case of error-free detection. In general, they differ, which is captured by the symbol error rate.

Intercarrier–Interferenzen und Impulsinterferenzen

$\text{Definitionen:}$  Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren.

• Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als  Intercarrier–Interferenz  $\rm (ICI)$.
• Die Übertragung über einen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit  Impulsinterferenzen  $($englisch:   Intersymbol Interference,  $\rm ISI)$.

OFDM–Empfangssignal über Mehrwegekanal

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt den Realteil eines OFDM–Empfangssignals im äquivalenten Tiefpassbereich nach der Übertragung über einen rauschfreien Mehrwegekanal mit den Parametern

• für den Pfad "0":   Dämpfung  $h_0 = 0.5$;   Verzögerung  $τ_0 = 0$,
• für den Pfad "1":   Dämpfung  $h_1 = 0.5$;   Verzögerung  $τ_1 = T/4$.

Schwarz gezeichnet ist der mit  „Plus–Eins”  belegte Träger der Frequenz  $1 · f_0$  des Intervalls  $k$.  Der mit  „Minus–Eins”  gewichtete Träger mit der Frequenz  $3 · f_0$  im vorherigen Intervall  $(k-\hspace{-0.08cm}1)$  ist rot dargestellt.  Andere Intervalle und Träger werden nicht berücksichtigt.
Man erkennt aus dieser Skizze:

• Die Einschwingvorgänge zu Symbolbeginn führen zu  "Intercarrier–Interferenz"  $\rm (ICI)$  im Spektrum.  Im Zeitbereich erkennt man  $\rm ICI$  an den auftretenden Sprüngen  (in der Grafik gelb markiert).  Dadurch geht die Orthogonalität bezüglich der Frequenzstützstellen verloren.
• Weiter erkennt man  Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$  im grün umrahmten Zeitintervall  $0 ≤ t < τ_1$:   Das rote Vorgängersymbol  $k-\hspace{-0.08cm}1$   $($Frequenz  $3 · f_0)$  stört das schwarze Symbol  $k$   $($Frequenz $1 · f_0)$.

Guard–Lücke zur Verminderung der Impulsinterferenzen

Ein erster möglicher Lösungsansatz für das zweite Problem  $\rm (ISI)$  ist die Einführung einer Guard–Lücke der Länge  $T_{\rm G}$:

Prinzip der Guard–Lücke

• Dabei wird das Signal zwischen zwei Symbolen für die Dauer der Schutzzeit  $T_{\rm G}$  zu Null gesetzt.

• Mögliche Impulsnachläufer des Symbols $k-\hspace{-0.08cm}1$  reichen dadurch nicht mehr in das darauffolgende Symbol  $(k)$  hinein, sofern die Guard–Lücke „breiter” als die maximale Kanalverzögerung gewählt wird.

• Die neue Rahmendauer  $T_{\rm R}$ – also der Abstand aufeinanderfolgender Sendesymbole – ergibt sich damit zu

$$T_{\rm R} = T + T_{\rm G}.$$

OFDM-Empfangssignal über Mehrwegekanal mit Guard–Lücke

$\text{Beispiel 2:}$  Auch diese Grafik zeigt wieder den Realteil des OFDM–Empfangssignals, aber nun mit Guard–Lücke.

• Die Annahmen von  $\text{Beispiel 1}$  wurden beibehalten.
• Zusätzlich wird  $T_{\rm G} = T/4$  gesetzt, was beim vorliegenden Kanal dem Grenzfall  $T_{\rm G} = τ_{\rm max}$  entspricht.

Die Grafik zeigt:

1.  Durch die Verwendung einer Guard–Lücke entsprechender Breite können  Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$  vermieden werden   ⇒   im Intervall  $k$  tritt nur mehr eine Frequenz auf.
2.  Aber:  Intercarrier–Interferenzen  $\rm (ICI)$  lassen sich dadurch nicht verhindern, da die Symbole weiterhin eine Einschwingphase und damit Sprünge aufweisen.

Der Ansatz „Guard–Lücke” wird nicht weiter betrachtet.  Vielmehr wird im nächsten Abschnitt eine bessere Alternative vorgestellt.

Cyclic Prefix

Eine bessere Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer  zyklischen Erweiterung der Sendesymbole  im so genannten Guard–Intervall  der Länge  $T_{\rm G}$.

• Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt  $T \ – \ T_{\rm G} ≤ t < T$  dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt.
• Dieses Verfahren erzeugt somit ein  zyklisches Präfix.

Prinzip des zyklischen Präfix'

Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer  $T$  auf die neue Rahmendauer  $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.  Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im  $k$–ten Intervall beträgt dann:

$$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$

Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin  $N$.  Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes  $N\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.08cm}N_0$, ... , $N\hspace{-0.08cm}-\hspace{-0.08cm}1$  im (rot hinterlegten) Guard–Intervall erzielt.

Der Einsatz des zyklischen Präfixes erscheint dann besonders sinnvoll, wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch Nachläufer hervorgerufen werden. Dies trifft insbesondere auch auf die bei  DSL–Systemen  verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.

OFDM-Empfangssignal über Mehrwegekanal mit zyklischem Präfix

$\text{Beispiel 3:}$ 

Die Grafik zeigt die Funktionsweise des Guard–Intervalls im zeitkontinuierlichen Fall.  Es gelten weiterhin die Parameter aus der Betrachtung der Guard–Lücke im  $\text{Beispiel 2}$, wobei allerdings nur noch ein Symbol  $($mit der Frequenz  $f_0)$ betrachtet wird. 

Weitere Systemparameter sind wieder  $T_{\rm G} = T/4$  sowie für Pfad "0" bzw. Pfad "1":

• Dämpfung  $h_0 = 0.5$;   Verzögerung  $τ_0 = 0$,
• Dämpfung  $h_1 = 0.5$;   Verzögerung  $τ_1 = T/4$.

Im Rahmen  $k$  der Dauer  $T_{\rm R}$  sind nun keinerlei Interferenzen zu erkennen:

1.  Da die Vorgängersymbole während des Guard–Intervalls vollständig abklingen, gibt es kein "Intersymbol Interference"  $\rm (ISI)$.
2.  Da die jeweiligen Einschwingvorgänge nicht in die Nutzsymbole hineinreichen, tritt auch kein  "Intercarrier Interference"  $\rm (ICI)$  auf.

$\text{Fazit:}$ 

1.   Allein durch ein zyklisches Präfix lassen sich sowohl "Intercarrier Interference"  $\rm (ICI)$  als auch  "Intersymbol Interference"  $\rm (ISI)$ vollständig vermeiden.
2.   Voraussetzung dafür ist, dass die Länge des Guard–Intervalls  $(T_{\rm G})$  mindestens gleich der maximalen Dauer  $τ_{\rm max}$  der Kanalimpulsantwort ist:   $T_{\rm G} \ge τ_{\rm max}$. 
3.   Im betrachteten Beispiel gilt  $T_{\rm G} = τ_{\rm max} = \tau_1$ .
4.   Die Größe  $τ_{\rm max}$  begrenzt allgemein den ISI– und ICI–freien Abschnitt innerhalb des Guard–Intervalls auf den Bereich  $ \ –T_{\rm G} + τ_{\rm max} ≤ t < T$.

OFDM–System mit zyklischem Präfix

Die bereits vorne gezeigte  Senderstruktur  muss also noch um den Block  „Zyklisches Präfix”  ergänzt werden.  Beim  Empfänger  muss dieses Präfix wieder entfernt werden.

OFDM–Sender und –Empfänger mit zyklischem Präfix

• Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen.  Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt  OFDM für 4G–Netze  exemplarisch vorgestellt.

• Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die  Bandbreiteneffizienz.  Die Degradation steigt mit wachsender Dauer  $T_{\rm G}$  des Guard–Intervalls – nachfolgend abgekürzt mit "GI".
• Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf  $1/T$  begrenzten Sendespektrums  $S(f)$  ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]:

$$\beta = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} } = \frac{1/(T + T_{\rm G})}{1/T} = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}.$$

• Bei einem System nach dem so genannten Matched–Filter–Ansatz führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von  $T$  auf  $T_{\rm G} + T$  allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten  $g_{\rm S}(t)$  und  $g_{\rm E}(t)$  von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer  $T$  angepasst sind.

• Das resultierende  Signal–to–Noise–Ratio  $\rm (SNR)$  $\text{(in dB)}$  des Gesamtsystem ist unter Berücksichtigung des Guard–Intervalls wie folgt berechenbar:

$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{ {\rm{with} }\hspace{0.08cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.08cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.08cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$

$$\beta = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$

$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einem Guard–Intervall der Länge  $T_{\rm G} = T/3$  aus.

• Dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz:

$$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$

• Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer  $T_{\rm R}$  beträgt  $25\%$  und der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann  $10 · \lg \ (4/3) ≈ 1.25 \ \rm dB$.

Das Applet  OFDM–Spektrum und –Signale  verdeutlicht die Funktionsweise eines zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall bezüglich  Intercarrier Interference  $\rm (ICI)$.

OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich

Wir betrachten das  OFDM–System  weiterhin im rauschfreien Fall und gehen von einer zeitinvarianten Kanalimpulsantwort aus, deren Länge kleiner als die Dauer  $T_{\rm G}$  des sendeseitig hinzugefügten zyklischen Präfixes ist.

• Die Betrachtung erfolgt im  $k$–ten Intervall, wobei auf die Indizierung verzichtet wird.
• Die zeitdiskrete Kanalimpulsantwort lässt sich mit der Abkürzung  $T_{\rm A} = T/N$  als   $h_ν = h(ν · T_{\rm A})$  schreiben.
• Das zeitdiskrete Empfangssignal ergibt sich damit durch lineare  Faltung  zu:

$$r_\nu = s_\nu * h_\nu = d_\nu * h_\nu.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass die Zeitabtastwerte  $s_ν$  des Sendesignals mit den IDFT–Koeffizienten  $d_ν$  übereinstimmen.

$\text{Zu beachten ist:}$  Im Allgemeinen gilt für die herkömmliche lineare Faltung:

$${\rm{DFT} } \{ d_\nu * h_\nu \} \ne {\rm{DFT} } \{d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} } \{ h_\nu \}.$$

• Um dennoch das diskrete Empfangsspektrum durch die diskrete Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  angeben zu können, benötigt man die  zyklische Faltung  (hierfür werden synonym auch die Begriffe zirkulare Faltung und periodische Faltung verwendet):

$$r_\nu = d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \quad \circ\hspace{0.01cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad R_\mu = {\rm{DFT} } \{ d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \}.$$

• Mit dem Faltungssatz für lineare zeitinvariante Systeme kann man dann das Spektrum auch als Produkt zweier diskreter Fouriertransformierter schreiben:

$$R_\mu = {\rm{DFT} }\{ d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} }\{ h_\nu \} = D_\mu \cdot H_\mu.$$

• Um den Einfluss des Kanals auf die Empfangsfolge auszugleichen, bietet sich die Multiplikation des Spektrums mit der inversen Übertragungsfunktion  $1/H_{\mu}$  an.
• Dieser „Zero Forcing”–Ansatz führt im rauschfreien Fall zur idealen Signalrekonstruktion.  Die Entzerrung kann dabei punktweise erfolgen:

$$\hat {D}_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu.$$

$\text{Fazit:}$  

• Beim  OFDM–System  kann die  Kanalentzerrung mit einer einzigen Multiplikation je Unterträger  realisiert werden, wenn der Kanalfrequenzgang bekannt ist.
• Bei einem  klassischen Einträger–System  müsste man demgegenüber  den gesamten genutzten Frequenzbereich entzerren.

OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation

Im Folgenden soll eine erneute, jedoch tiefer gehende Betrachtung der OFDM–Entzerrung erfolgen, wobei wir die  Matrix–Vektor–Notation  verwenden.  Die Betrachtung bezieht sich weiterhin auf das  $k$–te Intervall, ohne dass dies besonders vermerkt wird:

• Der Vektor eines Kanals mit  $L$  Echos ist  $\mathbf h = (h_0$, ... , $h_L)$.  Die Übertragungsmatrix mit  $N$  Zeilen und  $N + L$  Spalten lautet:

$${\rm\bf{H}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } \\ \end{array}} \right).$$

• Hierbei gibt  $N$  die Anzahl der Träger und damit auch der Zeitabtastwerte der IDFT an.  Mit dem Sendevektor  ${\bf d} = (d_0$,  ...  , $d_{N–1})$  lautet der Empfangsvektor:

$$\bf r = d · H.$$

• Unter Berücksichtigung des zyklischen Präfixes erhält man den erweiterten Sendevektor:

$${\rm\bf{d}}_{{\rm{ext}}} = (d_{N - N_G } , \ \ldots \ ,d_{N - 1} ,d_0 , \ \ldots \ ,d_{N - 1} ).$$

• Nun könnte man die obige Übertragungsmatrix  $\bf H$  ebenfalls entsprechend auf  $(N + N_{\rm G})$  Zeilen und  $(N + L + N_{\rm G})$  Spalten erweitern sowie das Präfix am Empfänger wieder entfernen, was hier nicht weiter verfolgt werden soll.

Alternativ kann man aber auch die  zyklische Matrix  $\rm \bf H_C$  mit  $N$  Zeilen und  $N$  Spalten sowie die  Fouriertransformation  $\rm \bf F$  in Matrix–Vektor–Notation  verwenden:

$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } \\ \hline {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_{L - 1} } \\ \vdots & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & {} & \vdots \\ \vdots & {} & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & \vdots \\ {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right), \hspace{1cm} {\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}\nu {\kern 1pt} \cdot\mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right) .$$

• Die Diskrete Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  lässt sich mit  $1/N · \bf F$  und deren Inverse  $\rm (IDFT)$  mit  $\rm \bf F^{\star}$ darstellen, so dass für den Sendevektor gilt:  $\rm {\bf d} = {\bf D} · {\bf F}^{\star}$.

• Die  $N$  Spektralkoeffizienten werden durch den Vektor  ${\bf D} = 1/N · {\bf d} · {\bf F}$  beschrieben und der Empfangsvektor ist  ${\bf r} = {\bf d} · {\bf H}_{\rm C} = {\bf D} · {\bf F}^{\star} · {\bf H}_{\rm C}$.

• Die (diskrete) Fourier–Transformierte  $\rm \bf R$  des Empfangsvektors  $\rm \bf r$  kann dann in folgender Weise geschrieben werden:

$${\rm\bf{R}} = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r}} \cdot {\rm\bf{F}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {H_{N - 1} } \\ \end{array}} \right),\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^L {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\mu /N} }.$$

Blockschaltbild der OFDM–Entzerrung

$\text{Fazit:}$ 

• Das Empfangssymbol auf dem $\mu$–ten Träger lautet:  

$$R_{\mu} = D_{\mu} · H_{\mu}.$$

• Dieses lässt sich somit mit dem  Zero Forcing–Ansatz entzerren:

$$\hat {D}_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu = e_\mu \cdot R_\mu .$$

• Die Entzerrung mit  $e_{\mu} = 1/H_{\mu}, \ (\mu = 0,$ ... , $N–1)$  führt zum endgültigen Blockschaltbild des OFDM–Empfängers.
• Das gesamte Blockschaltbild ist rechts dargestellt.

$\text{Beispiel 5:}$  Wir gehen von einem System mit  $N = 4$  Trägern und einem Kanal mit  $L = 2$  Echos aus, so dass für den Sendevektor  ${\bf d} = (d_0, d_1, d_2, d_3)$  und für die Kanalimpulsantwort  ${\bf h} = (h_0, h_1, h_2)$  gilt.

(1)   Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix die zyklische Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H} }_{\rm{C} }$, woraus sich der Empfangsvektor  ${\rm \bf r}= {\rm \bf d} \cdot {\rm \bf H}_{\rm{C} }$  ergibt:

$${\rm\bf{H} }_{\rm{C} } = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & { } \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array} } \right), \hspace{1cm} {\rm\bf{r} } = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {d_0 ,d_1 ,d_2 ,d_3 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array} } \right) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_0 = d_0 \cdot h_0 + d_2 \cdot h_2 + d_3 \cdot h_1, \hspace{0.5cm} r_1 = d_0 \cdot h_1 + d_1 \cdot h_0 + d_3 \cdot h_2,$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_2 = d_0 \cdot h_2 + d_1 \cdot h_1 + d_2 \cdot h_0, \hspace{0.5cm} r_3 = d_1 \cdot h_2 + d_2 \cdot h_1 + d_3 \cdot h_0.$$

(2)   Die (diskrete) Fourier–Transformierte des Empfangsvektors berechnet sich zu

$${\rm\bf{R} } = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r} } \cdot {\rm\bf{F} } = {\rm\bf{D} } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array} } \right) ,\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi } }\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu /4} } .$$

(3)   Für die numerische Berechnung gehen wir von einer bekannten, BPSK–codierten Sendefolge  $\rm \bf D$  (im Frequenzbereich) und folgender Kanalimpulsantwort  $\bf h$  aus:

$${\rm\bf{D} } = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{d} } \cdot {\rm\bf{F} } = \left( D_0, D_1,D_2,D_3\right) = \left( +1,\ -1,\ +1,\ -1\right),$$

$$ {\rm\bf{h} }= \left( h_0, h_1,h_2\right) = \left( 0.5,\ 0.3,\ 0.2\right).$$

(4)   Zunächst bestimmen wir die Elemente  $H_{\mu}$  der Diagonalmatrix:

$$\begin{array}{l} H_0 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^0 = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1,} \\ H_1 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi } }\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} {1}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi } } /2 } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi } } } = 0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3, \\ H_2 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi } }\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} {2}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\pi } } } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi } } } = 0.4, \\ H_3 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi } }\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} {3}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} {3}/{2} \pi } } } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}3\pi } } } = 0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3. \\ \end{array}$$

(5)   Damit ergibt sich der Vektor der Frequenzstützstellen am Empfänger zu

$$\begin{align*}{\rm\bf{R} } &= \left( {\rm{1, -1, \; \; 1, -1} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & {} & {} & {} \\ {} & {0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3} & {} & {} \\ {} & {} & {0.4} & {} \\ {} & {} & {} & {0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3} \\ \end{array} } \right) \ = \ {\rm{ (1, -0.3 + j \cdot 0.3, \; \; 0.4, -0.3 - j \cdot 0.3) } }.\end{align*}$$

(6)   Die Entzerrerkoeffizienten wählt man entsprechend  $e_{\mu} = 1/H_{\mu}$,  wobei  $\mu = 0$, ... , $3$   gilt:

$$e_0 = 1, \quad e_1 = \frac{1}{ {0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3} }, \quad e_2 = \frac{1}{ {0.4} }, \quad e_3 = \frac{1}{{0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3} }.$$

(7)   Die entzerrte Symbolfolge ergibt sich mit  ${\bf e} = (e_0, e_1, e_2, e_3)$  schließlich zu

$$\hat {\rm\bf{D} } = {\rm\bf{R} } \cdot {\rm\bf{e} }^{\rm{T} } = (R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {e_0 } \\ {e_1 } \\ {e_2 } \\ {e_3 } \\ \end{array}} \right) = \left( +1, -1, \; \; +1, -1 \right).$$

⇒   Dies entspricht exakt der Sendesymbolfolge  $\bf D$.  Das heißt:

Bei Kenntnis des Kanals lässt sich das Signal vollständig entzerren, wobei man pro Symbol (Träger) nur eine einzige Multiplikation benötigt.

Vor– und Nachteile von OFDM

Wesentliche  Vorteile  von OFDM gegenüber Einträger– oder anderen Mehrträgersystemen sind:

• flexibel hinsichtlich Anpassung an schlechte Kanalzustände,
• einfache Kanalorganisation,
• sehr einfach zu realisierende Entzerrung,
• durch Guard–Intervall–Technik sehr robust gegen Mehrwegeausbreitung,
• hohe spektrale Effizienz,
• einfache Implementierung mit Hilfe von  $\rm IFFT/FFT$  (Schnelle Fouriertransformation),
• relativ unempfindlich für ungenaue Zeitsynchronisation.

Wesentliche  Nachteile  von OFDM sind:

• anfällig für Doppler–Spreizungen durch eine relativ lange Symboldauer,
• empfindlich gegenüber Oszillatorschwankungen,
• ein ungünstiger Crest–Faktor (Scheitelfaktor).

Anmerkung:   Der so genannte  "Crest–Faktor"  beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße.  Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein.  Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch  (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz  (Energieverbrauch, Abwärme)  nicht außer Acht gelassen werden soll.

$\text{Fazit:}$  Die Vorteile von OFDM überwiegen die Nachteile bei Weitem:

• Obwohl das Prinzip mindestens seit der Veröffentlichung [Wei71] bekannt ist, finden OFDM–Systeme allerdings erst seit den 1990–Jahren Verwendung.
• Die Hauptursache dafür ist unter anderem, dass die für die IFFT bzw. FFT benötigten leistungsfähigen Signalprozessoren erst seit einigen Jahren verfügbar sind.

Exercises for the chapter

Aufgabe 5.7: OFDM–Sender mittels IDFT

Aufgabe 5.7Z: Anwendung der IDFT

Aufgabe 5.8: Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation

Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall