Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement"

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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung
+
{{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Error_Probability_for_Baseband_Transmission
 
}}
 
}}
  
  
[[File:EN_Dig_Z_1_2.png|right|frame|Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten]]
+
[[File:EN_Dig_Z_1_2.png|right|frame|Simulated bit error frequencies]]
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
+
The bit error probability
 
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$  
 
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$  
eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER)  
+
of a binary system was simulatively determined by a measurement of the bit error rate (BER)  
:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$
+
:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$.
simulativ ermittelt. Oftmals wird  $h_{\rm B}$  auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.  
+
Often,  $h_{\rm B}$  is also called bit error frequency.
  
  
In obigen Gleichungen bedeuten:
+
In above equations mean:
*$E_{\rm B}$:   Energie pro Bit,
+
*$E_{\rm B}$:   energy per bit,
*$N_0$:   AWGN–Rauschleistungsdichte,
+
*$N_0$:   AWGN noise power density,
*$n_{\rm B}$:    Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
+
*$n_{\rm B}$:    number of bit errors occurred,
*$N$:      Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.
+
*$N$:      number of simulated bits of a test series.
  
  
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  und  $N = 1.6 \cdot 10^6$. Die letzte mit  $N \to \infty $  benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  an.
+
The table shows the results of some test series with  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  and  $N = 1.6 \cdot 10^6$. The last column named  $N \to \infty $  gives the bit error probability  $p_{\rm B}$. 
  
Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
+
The following properties are referred to in the exercise questionnaire:
*Die Bitfehlerhäufigkeit  $h_{\rm B}$  ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit Mittelwert  $m_h = p_{\rm B}$  und Varianz  $\sigma_h^2  \approx p_{\rm B}$.
+
*The bit error frequency  $h_{\rm B}$  is, to a first approximation, a Gaussian distributed random variable with mean  $m_h = p_{\rm B}$  and variance  $\sigma_h^2  \approx p_{\rm B}$.
*Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt
+
*The relative deviation of the bit error frequency from the probability is
 
:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl  der gemessenen Bitfehler  $n_{\rm B} \ge 100$  sein sollte.
+
*As a rough rule of thumb on the required accuracy, the number of measured bit errors should be  $n_{\rm B} \ge 100$.   
  
  
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''Hinweis:''  
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''Note:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digital_Signal_Transmission/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
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*The exercise belongs to the chapter   [[Digital_Signal_Transmission/Error_Probability_for_Baseband_Transmission|Error Probability for Baseband Transmission]].
 
   
 
   
  
  
  
===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
+
{Which of the following statements are true?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Genauigkeit der BER&ndash;Messung ist unabhängig von &nbsp;$N$.
+
- The accuracy of the BER measurement is independent of &nbsp;$N$.
+ Je größer &nbsp;$N$&nbsp; ist, desto genauer ist im Mittel die BER&ndash;Messung.
+
+ The larger &nbsp;$N$&nbsp; is, the more accurate the BER measurement is on average.
- Je größer &nbsp;$N$&nbsp; ist, desto genauer ist jede einzelne BER&ndash;Messung.
+
- The larger &nbsp;$N$&nbsp; is, the more accurate each individual BER measurement is.
  
  
{Geben Sie die Streuung &nbsp;$\sigma_h$&nbsp; für verschiedene &nbsp;$N$&nbsp; an. Es gelte &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.
+
{Give the standard deviation &nbsp;$\sigma_h$&nbsp; for different &nbsp;$N$.&nbsp; Let &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  σ_h \ = \ $  { 1.1 3% }  $\ \cdot 10^{ -3 }\ $
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  σ_h \ = \ $  { 1.1 3% }  $\ \cdot 10^{ -3 }\ $
Line 55: Line 55:
  
  
{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung  für &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$?
+
{What is the respective relative deviation for &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  ε_{\rm rel} \ = \ $  { -0.927--0.873 }  $\  \% $
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  ε_{\rm rel} \ = \ $  { -0.927--0.873 }  $\  \% $
Line 61: Line 61:
  
  
{Geben Sie die Streuung &nbsp;$\sigma_h$&nbsp; für verschiedene &nbsp;$N$&nbsp; an. Es gelte nun $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.
+
{Give the standard deviation &nbsp;$\sigma_h$&nbsp; for different &nbsp;$N$&nbsp; Let $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  σ_h \ = \ $  { 2.3 3% }  $\ \cdot 10^{ -5 }\ $
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  σ_h \ = \ $  { 2.3 3% }  $\ \cdot 10^{ -5 }\ $
Line 67: Line 67:
  
  
{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung  für &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$?
+
{What is the respective relative deviation for &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  ε_{\rm rel} \ = \ $  { 86 3% }  $\  \% $
 
$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}  ε_{\rm rel} \ = \ $  { 86 3% }  $\  \% $
Line 73: Line 73:
  
  
{Bis zu welchem (logarithmischen) &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&ndash;Wert ist &nbsp;$N = 1.6 \cdot 10^6$&nbsp; aufgrund der Bedingung  &nbsp;$n_{\rm B} \ge 100$&nbsp; ausreichend?
+
{Up to what (logarithmic) &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$ value is &nbsp;$N = 1.6 \cdot 10^6$&nbsp; sufficient due to the condition &nbsp;$n_{\rm B} \ge 100$?&nbsp;  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\text{Maximum} \ \big [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 \big]  \ = \ $ { 8 3% }  $\ \rm dB $
 
$\text{Maximum} \ \big [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 \big]  \ = \ $ { 8 3% }  $\ \rm dB $
Line 81: Line 81:
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:  
+
'''(1)'''&nbsp; Only the <u>second solution</u> is correct:  
*Natürlich wird die Genauigkeit der BER&ndash;Messung durch den Parameter $N$ in starkem Maße beeinflusst. Im statistischen Mittel wird die BER&ndash;Messung natürlich besser, wenn man $N$ erhöht.  
+
*Of course, the accuracy of the BER measurement is influenced by the parameter $N$ to a large extent. On statistical average, the BER measurement naturally becomes better when $N$ is increased.  
*Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER&ndash;Messung, wie z. B. die Ergebnisse für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$ zeigen:  
+
*However, there is no deterministic relationship between the number of simulated bits and the accuracy of the BER measurement, as shown, for example, by the results for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$:  
*Bei $N = 6.4 \cdot 10^4\  (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$ ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert $(0.239 \cdot 10^{-2})$ geringer als bei $N = 1.28 \cdot 10^5\  (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.  
+
*For $N = 6.4 \cdot 10^4\  (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$, the deviation from the true value $(0.239 \cdot 10^{-2})$ is smaller than for $N = 1.28 \cdot 10^5\  (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.  
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Bei $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$, also $E_{\rm B} = N_0$, erhält man folgende Werte:
+
'''(2)'''&nbsp; At $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$, i.e. $E_{\rm B} = N_0$, the following values are obtained:
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1
 
   \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
 
   \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
Line 97: Line 97:
  
  
'''(3)'''&nbsp; Hierfür ergeben sich mit $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ folgende Werte:
+
'''(3)'''&nbsp; For this, $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ yields the following values:
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}
 
= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
 
= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
Line 103: Line 103:
  
  
'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe (2):
+
'''(4)'''&nbsp; Due to the smaller error probability, the values are now smaller than in subtask (2):
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
 
   2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
 
   2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
Line 109: Line 109:
  
  
'''(5)'''&nbsp; Trotz der deutlich kleineren Streuung $\sigma_h$ ergeben sich für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$:
+
'''(5)'''&nbsp; Despite the much smaller standard deviation $\sigma_h$, the smaller error probability results in larger relative deviations for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ than for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$:
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$
 
:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$
 
:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Die Anzahl  der gemessenen Bitfehler sollte $n_{\rm B} \ge 100$ sein. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):
+
'''(6)'''&nbsp; The number of measured bit errors should be $n_{\rm B} \ge 100$. Therefore, approximately (rounding errors should be taken into account):
 
:$$n_{\rm B} =  {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$n_{\rm B} =  {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
 
p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
*Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind $(n_{\rm B} =315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind.  
+
*It further follows that in the simulation for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ still a sufficient number of bit errors occurred $(n_{\rm B} =315)$, while for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ on average only $n_{\rm B} =52$ errors are to be expected.
*Für diesen dB&ndash;Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.
+
*For this dB value, about twice the number of bits would have to be simulated.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Revision as of 16:51, 2 March 2022


Simulated bit error frequencies

The bit error probability

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$

of a binary system was simulatively determined by a measurement of the bit error rate (BER)

$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$.

Often,  $h_{\rm B}$  is also called bit error frequency.


In above equations mean:

  • $E_{\rm B}$:   energy per bit,
  • $N_0$:   AWGN noise power density,
  • $n_{\rm B}$:   number of bit errors occurred,
  • $N$:     number of simulated bits of a test series.


The table shows the results of some test series with  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  and  $N = 1.6 \cdot 10^6$. The last column named  $N \to \infty $  gives the bit error probability  $p_{\rm B}$. 

The following properties are referred to in the exercise questionnaire:

  • The bit error frequency  $h_{\rm B}$  is, to a first approximation, a Gaussian distributed random variable with mean  $m_h = p_{\rm B}$  and variance  $\sigma_h^2 \approx p_{\rm B}$.
  • The relative deviation of the bit error frequency from the probability is
$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
  • As a rough rule of thumb on the required accuracy, the number of measured bit errors should be  $n_{\rm B} \ge 100$. 




Note:



Questions

1

Which of the following statements are true?

The accuracy of the BER measurement is independent of  $N$.
The larger  $N$  is, the more accurate the BER measurement is on average.
The larger  $N$  is, the more accurate each individual BER measurement is.

2

Give the standard deviation  $\sigma_h$  for different  $N$.  Let  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -3 }\ $
$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -3 }\ $

3

What is the respective relative deviation for  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$?

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $
$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

4

Give the standard deviation  $\sigma_h$  for different  $N$  Let $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -5 }\ $
$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -5 }\ $

5

What is the respective relative deviation for  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$?

$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $
$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $

$\ \% $

6

Up to what (logarithmic)  $E_{\rm B}/N_0$ value is  $N = 1.6 \cdot 10^6$  sufficient due to the condition  $n_{\rm B} \ge 100$? 

$\text{Maximum} \ \big [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 \big] \ = \ $

$\ \rm dB $


Solution

(1)  Only the second solution is correct:

  • Of course, the accuracy of the BER measurement is influenced by the parameter $N$ to a large extent. On statistical average, the BER measurement naturally becomes better when $N$ is increased.
  • However, there is no deterministic relationship between the number of simulated bits and the accuracy of the BER measurement, as shown, for example, by the results for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$:
  • For $N = 6.4 \cdot 10^4\ (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$, the deviation from the true value $(0.239 \cdot 10^{-2})$ is smaller than for $N = 1.28 \cdot 10^5\ (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.


(2)  At $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$, i.e. $E_{\rm B} = N_0$, the following values are obtained:

$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.22 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  For this, $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ yields the following values:

$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Due to the smaller error probability, the values are now smaller than in subtask (2):

$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
$$ N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.46 \cdot10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Despite the much smaller standard deviation $\sigma_h$, the smaller error probability results in larger relative deviations for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ than for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$:

$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$
$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  The number of measured bit errors should be $n_{\rm B} \ge 100$. Therefore, approximately (rounding errors should be taken into account):

$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
  • It further follows that in the simulation for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ still a sufficient number of bit errors occurred $(n_{\rm B} =315)$, while for $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ on average only $n_{\rm B} =52$ errors are to be expected.
  • For this dB value, about twice the number of bits would have to be simulated.