Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.7: About the Rake Receiver"

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{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS}}
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{{quiz-Header|Buchseite=Examples_of_Communication_Systems/Telecommunications_Aspects_of_UMTS}}
  
[[File:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE]]
+
[[File:EN_Mod_Z_5_5.png|right|frame|Two-way channel <br>& rake receiver]]
  
Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
+
The graphic shows a two-way channel (yellow background). The corresponding description equation is:
  
 
:$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten&nbsp; $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$.
+
Let the delay on the side path be&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Drawn below is the structure of a RAKE receiver (green background) with general coefficients&nbsp; $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; and&nbsp; $\tau_{1}$.
  
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
+
The RAKE receiver has the task of combining the energy of the two signal paths to make the decision more reliable. The joint impulse response of the channel and the RAKE receiver can be expressed in the form
  
 
:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
 
:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
  
angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten&nbsp; $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$&nbsp; geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$&nbsp; soll bei&nbsp; $t = \tau$&nbsp; liegen.
+
can be given, but only if the RAKE coefficients&nbsp; $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; and&nbsp; $\tau_{1}$&nbsp; are appropriately chosen. The main part of&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$&nbsp; shall be at&nbsp; $t = \tau$&nbsp; .
  
Die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
+
The constant&nbsp; $K$&nbsp; is necessary for normalization reasons. In order not to distort the influence of AWGN noise, the following condition must be fulfilled:
 
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
 
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
  
Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$, wenn&nbsp; $s(t)$&nbsp; ein Rechteck der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Breite&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp; beschreibt.
+
Besides the appropriate RAKE parameters, the signals&nbsp; $r(t)$&nbsp; and&nbsp; $b(t)$ are also sought if&nbsp; $s(t)$&nbsp; describes a rectangle of height&nbsp; $1$&nbsp; and width&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp;.
  
  
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''Hinweise:''
+
Hints:
*Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
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*The task belongs to the chapter [[Examples_of_Communication_Systems/Telecommunications_Aspects_of_UMTS|"Telecommunications Aspects of UMTS"]].
*Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.
+
*Reference is also made to the page&nbsp; [[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#Examinations_of_the_rake_receiver|"Examinations of the rake receiver"]] in the book "Modulation Methods".
 
   
 
   
  
  
  
===Fragebogen===
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp;?
+
{What statements are valid for the channel impulse response&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $h_{\rm K}(t)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen.
+
+ $h_{\rm K}(t)$&nbsp; consists of two Dirac delta functions.
- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist komplexwertig.
+
- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; is complex-valued.
- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist eine mit der Verzögerungszeit&nbsp; $\tau$&nbsp; periodische Funktion.
+
- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; is a function periodic with the delay time&nbsp; $\tau$&nbsp;.
  
{Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp;?
+
{What statements hold for the channel frequency response&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Es gilt&nbsp; $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
+
- It holds&nbsp; $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
+ $H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist komplexwertig.
+
+ $H_{\rm K}(f)$&nbsp; is complex-valued.
+ $|H_{\rm K}(f)|$&nbsp; ist eine mit der Frequenz&nbsp; $1/ \tau$&nbsp; periodische Funktion.
+
+ $|H_{\rm K}(f)|$&nbsp; is a function periodic with frequency&nbsp; $1/ \tau$&nbsp;.
  
{Setzen Sie&nbsp; $K = 1, \ h_{0} = 0.6$&nbsp; und &nbsp; $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen&nbsp; $\tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$, damit die&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; erfüllt wird.
+
{Set&nbsp; $K = 1, \ h_{0} = 0.6$&nbsp; and &nbsp; $h_{1} = 0.4$. Determine the delays&nbsp; $\tau_{0}$&nbsp; and&nbsp; $\tau_{1}$ so that the&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$ equation is satisfied with&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; .
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$
 
$\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$
 
$\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rm&micro; s$
 
$\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rm&micro; s$
  
{Welcher Wert ist für die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; zu wählen?
+
{What value to choose for the constant&nbsp; $K$&nbsp; ?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$K \ = \ $ { 1.923 3% }
 
$K \ = \ $ { 1.923 3% }
  
{Welche Aussagen gelten für die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp;?
+
{What statements hold for the signals&nbsp; $r(t)$&nbsp; and&nbsp; $b(t)$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Maximalwert von&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist&nbsp; $1$.
+
+ The maximum value of&nbsp; $r(t)$&nbsp; is&nbsp; $1$.
- Die Breite von&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
+
- The width of&nbsp; $r(t)$&nbsp; is&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
- Der Maximalwert von&nbsp; $b(t)$&nbsp; ist&nbsp; $1 \ \rm &micro; s$.
+
- The maximum value of&nbsp; $b(t)$&nbsp; is&nbsp; $1 \ \rm &micro; s$.
+ Die Breite von&nbsp; $b(t)$&nbsp; ist&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
+
+ The width of&nbsp; $b(t)$&nbsp; is&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
  
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+
'''(1)'''&nbsp; Correct is <u>solution 1</u>:
*Die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ergibt sich als das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt&nbsp; $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
+
*The impulse response&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; is obtained as the received signal&nbsp; $r(t)$ when a dirac impulse is present at the input&nbsp; $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
* Daraus folgt:
+
* From this follows:
 
:$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+
'''(2)'''&nbsp; Correct are <u>solutions 2 and 3</u>:
*Der Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
+
*The channel frequency response&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; is by definition the Fourier transform of the impulse response&nbsp; $h_{\rm K}(t)$. Using the displacement theorem, this results in:
 
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
*Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
+
*The first proposed solution is accordingly wrong in contrast to the other two:
 
   
 
   
*$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit&nbsp; $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+
*$H_{\rm K}(f)$&nbsp; is complex-valued and the magnitude is periodic with&nbsp; $1/\tau$, as the following calculation shows:
:$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
+
:$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0. 4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
*Für&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist&nbsp; $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $1/\tau$&nbsp; wiederholt sich dieser Wert.
+
*For&nbsp; $f = 0$&nbsp; is&nbsp; $|H_{\rm K}(f)| = 1$. At the respective frequency interval&nbsp; $1/\tau$&nbsp; this value repeats.
  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß&nbsp; $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von&nbsp; $s(t)$&nbsp; zum Ausgangssignal&nbsp; $b(t)$.  
+
'''(3)'''&nbsp; We first set&nbsp; $K = 1$ as agreed. In total, there are four ways to get from&nbsp; $s(t)$&nbsp; to the output signal&nbsp; $b(t)$.  
*Um die vorgegebene&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder&nbsp; $\tau_{0} = 0$&nbsp; gelten oder&nbsp; $\tau_{1}= 0$. Mit&nbsp; $\tau_{0} = 0$&nbsp; erhält man für die Impulsantwort:
+
*To satisfy the given&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$ equation, either&nbsp; $\tau_{0} = 0$&nbsp; must hold or&nbsp; $\tau_{1}= 0$. With&nbsp; $\tau_{0} = 0$&nbsp; we obtain for the impulse response:
:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0. 6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
*Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann&nbsp; $\tau_{1} = \tau$&nbsp; gewählt werden. Mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$&nbsp; und&nbsp; $h_{1} = 0.4$&nbsp; erhält man dann&nbsp; $A_{0} \neq A_{2}$:
+
*To be able to concentrate the "main energy" on a time point, then&nbsp; $\tau_{1} = \tau$&nbsp; would have to be chosen. With&nbsp; $h_{0} = 0.6$&nbsp; and&nbsp; $h_{1} = 0.4$&nbsp; one then gets&nbsp; $A_{0} \neq A_{2}$:
 
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
*Dagegen ergibt sich mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$,&nbsp; $h_{1} = 0.4,&nbsp; \tau_{0} = \tau$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1} = 0$:
+
*In contrast, with&nbsp; $h_{0} = 0.6$,&nbsp; $h_{1} = 0.4,&nbsp; \tau_{0} = \tau$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1} = 0$:
 
:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$   
 
:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$   
*Hier ist die Zusatzbedingung&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
+
*Here the additional condition&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; is satisfied. Thus, the result we are looking for is:
 
:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm &micro; s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm &micro; s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung
+
'''(4)'''&nbsp; It holds according to the given equation.
 
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
*Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort&nbsp; (es gilt&nbsp; $0.24/0.52 = 6/13$):
+
*Thus, for the joint impulse response&nbsp; (it holds&nbsp; $0.24/0.52 = 6/13$) we obtain:
 
:$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; und für das RAKE–Ausgangssignal&nbsp; $b(t)$&nbsp; gelten:
+
'''(5)'''&nbsp; For the received signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; and for the RAKE output signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; hold:
[[File:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]
+
[[File:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signals to illustrate the RAKE receiver]]
:$$ r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$  
+
:$$ r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$  
:$$ b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt.  
+
Correct are <u>statements 1 and 4</u>, as the graph shows.  
  
Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; vergleichbar.
+
Regarding the AWGN noise behavior,&nbsp; $r(t)$&nbsp; and&nbsp; $b(t)$&nbsp; are comparable.
  
  
Line 125: Line 125:
  
  
[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte
+
[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises|^4.3 Telecommunications Aspects
 
^]]
 
^]]

Latest revision as of 13:28, 3 March 2023

Two-way channel
& rake receiver

The graphic shows a two-way channel (yellow background). The corresponding description equation is:

$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$

Let the delay on the side path be  $\tau = 1 \ \rm µ s$. Drawn below is the structure of a RAKE receiver (green background) with general coefficients  $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  and  $\tau_{1}$.

The RAKE receiver has the task of combining the energy of the two signal paths to make the decision more reliable. The joint impulse response of the channel and the RAKE receiver can be expressed in the form

$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$

can be given, but only if the RAKE coefficients  $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  and  $\tau_{1}$  are appropriately chosen. The main part of  $h_{\rm KR}(t)$  shall be at  $t = \tau$  .

The constant  $K$  is necessary for normalization reasons. In order not to distort the influence of AWGN noise, the following condition must be fulfilled:

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$

Besides the appropriate RAKE parameters, the signals  $r(t)$  and  $b(t)$ are also sought if  $s(t)$  describes a rectangle of height  $1$  and width  $T = 5 \ \rm µ s$ .





Hints:



Questions

1

What statements are valid for the channel impulse response  $h_{\rm K}(t)$ ?

$h_{\rm K}(t)$  consists of two Dirac delta functions.
$h_{\rm K}(t)$  is complex-valued.
$h_{\rm K}(t)$  is a function periodic with the delay time  $\tau$ .

2

What statements hold for the channel frequency response  $H_{\rm K}(f)$ ?

It holds  $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
$H_{\rm K}(f)$  is complex-valued.
$|H_{\rm K}(f)|$  is a function periodic with frequency  $1/ \tau$ .

3

Set  $K = 1, \ h_{0} = 0.6$  and   $h_{1} = 0.4$. Determine the delays  $\tau_{0}$  and  $\tau_{1}$ so that the  $h_{\rm KR}(t)$ equation is satisfied with  $A_{0} = A_{2}$  .

$\tau_{0} \ = \ $

$\ \rm µ s$
$\tau_{1} \ = \ $

$\ \rmµ s$

4

What value to choose for the constant  $K$  ?

$K \ = \ $

5

What statements hold for the signals  $r(t)$  and  $b(t)$ ?

The maximum value of  $r(t)$  is  $1$.
The width of  $r(t)$  is  $7 \ \rm µ s$.
The maximum value of  $b(t)$  is  $1 \ \rm µ s$.
The width of  $b(t)$  is  $7 \ \rm µ s$.


Solution

(1)  Correct is solution 1:

  • The impulse response  $h_{\rm K}(t)$  is obtained as the received signal  $r(t)$ when a dirac impulse is present at the input  $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
  • From this follows:
$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Correct are solutions 2 and 3:

  • The channel frequency response  $H_{\rm K}(f)$  is by definition the Fourier transform of the impulse response  $h_{\rm K}(t)$. Using the displacement theorem, this results in:
$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • The first proposed solution is accordingly wrong in contrast to the other two:
  • $H_{\rm K}(f)$  is complex-valued and the magnitude is periodic with  $1/\tau$, as the following calculation shows:
$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0. 4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
  • For  $f = 0$  is  $|H_{\rm K}(f)| = 1$. At the respective frequency interval  $1/\tau$  this value repeats.


(3)  We first set  $K = 1$ as agreed. In total, there are four ways to get from  $s(t)$  to the output signal  $b(t)$.

  • To satisfy the given  $h_{\rm KR}(t)$ equation, either  $\tau_{0} = 0$  must hold or  $\tau_{1}= 0$. With  $\tau_{0} = 0$  we obtain for the impulse response:
$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0. 6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
  • To be able to concentrate the "main energy" on a time point, then  $\tau_{1} = \tau$  would have to be chosen. With  $h_{0} = 0.6$  and  $h_{1} = 0.4$  one then gets  $A_{0} \neq A_{2}$:
$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
  • In contrast, with  $h_{0} = 0.6$,  $h_{1} = 0.4,  \tau_{0} = \tau$  und  $\tau_{1} = 0$:
$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$
  • Here the additional condition  $A_{0} = A_{2}$  is satisfied. Thus, the result we are looking for is:
$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  It holds according to the given equation.

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
  • Thus, for the joint impulse response  (it holds  $0.24/0.52 = 6/13$) we obtain:
$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$


(5)  For the received signal  $r(t)$  and for the RAKE output signal  $b(t)$  hold:

Signals to illustrate the RAKE receiver
$$ r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
$$ b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$

Correct are statements 1 and 4, as the graph shows.

Regarding the AWGN noise behavior,  $r(t)$  and  $b(t)$  are comparable.