Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion }} right| :Wi…“
:Damit lautet die <i>p</i>–Übertragungsfunktion:
Thus, the $p$–transfer function is:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$
{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$
:Mit der Substitution <i>p</i> = j · 2π<i>f</i> lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
Considering the substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, the conventional transfer function can be specified, which is also called "frequency response":
:Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen <i>H</i>(<i>f</i>), der Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und der Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>). Für eine durch den Punkt <i>p</i> = j2π<i>f</i> indirekt vorgegebene Frequenz <i>f</i> kann man die entsprechenden Dämpfungs– und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
From this equation it can also be seen the relationship between
:$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
:Die entsprechenden Beträge |<i>R</i><sub>o</sub>|, |<i>R</i><sub>x1</sub>| und |<i>R</i><sub>x2</sub>| können Sie ebenso wie die Winkel <i>ϕ</i><sub>0</sub>, <i>ϕ</i><sub>x1</sub> und <i>ϕ</i><sub>x2</sub> der Grafik entnehmen.
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.
The attenuation and phase values can be determined as follows for a frequency $f$ indirectly specified by the point $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ :
The corresponding magnitudes $|R_{\rm o}|$, $|R_{\rm x1}|$ and $|R_{\rm x2}|$ as well as the angles $\phi_{\rm o}$, $\phi_{\rm x1}$ and $\phi_{\rm x2}$ can be taken from the graph .
Please note:
*The exercise belongs to the chapter [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace_Transform_and_p-Transfer_Function|Laplace Transform and p-Transfer Function]].
===Questions===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie <i>H</i>(<i>f</i>). Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
{Compute $H(f)$. What is its magnitude at very large frequencies?
|type="{}"}
|type="{}"}
$|H_L(f → ∞)|$ = { 0 3% }
$|H(f → ∞)| \ = \ $ { 0. }
{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für <i>f</i> → 0.
{Compute the magnitude frequency response and the attenuation value for $f → 0$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$|H(f = 0)|$ = { 0.278 3% }
$|H(f = 0)| \ = \ $ { 0.278 3% }
$|a(f = 0)|$ = { 1.281 3% } $Np$
$a(f = 0) \ = \ $ { 1.281 3% } $\ \rm Np$
{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei <i>f</i> = 4/(2π) in Neper (Np) und Dezibel (dB).
{Compute the attenuation value at $f =4/(2 \pi)$ in neper $\rm(Np)$ and decibel $\rm(dB)$ according to the described approach.
|type="{}"}
|type="{}"}
$a(f = 2/ \pi)$ = { 0.155 3% } $Np$
$a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 0.155 3% } $\ \rm Np$
$a(f = 2/ \pi)$ = { 1.346 3% } $dB$
$a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 1.346 3% }$\ \rm dB$
{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz <nobr><i>f</i> = 4/(2π).</nobr>
{Compute the phase value at frequency $f = 4/(2 \pi)$ according to the described approach.
:Die Grafik fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:<br><br>
:Mittlere Achse (blau): Betrag,<br>
:Linke Achse (rot): Dämpfung,<br>
:Rechte Achse (grün): Phase.<br><br>
:Schwarzer Punkt:2π<i>f</i> = 4.
<br><br>
:Bildschirmabzug des Flash–Moduls „Kausale Systeme”.<br><br>
[[File:P_ID2843__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pole-zero diagram and some auxiliary quantities]]
'''(3)''' According to the detailed description in the [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace_Transform_and_p-Transfer_Function#Graphical_determination_of_attenuation_and_phase|theory part]], the following holds for the attenuation function:
:<b>3.</b> Entsprechend der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt für die Dämpfungsfunktion:
:Zu berücksichtigen ist die Zusatzeinheit „Neper” (Np).
*Furthermore, the additional unit "neper" $\rm (Np)$ must be taken into account.
*The attenuation at $f = 2/\pi$ is searched-for. For this, we set $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f = 4$ and determine the following distances:
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}\hspace{0.05cm} .$$
Considering the substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, the conventional transfer function can be specified, which is also called "frequency response":
The corresponding magnitudes $|R_{\rm o}|$, $|R_{\rm x1}|$ and $|R_{\rm x2}|$ as well as the angles $\phi_{\rm o}$, $\phi_{\rm x1}$ and $\phi_{\rm x2}$ can be taken from the graph .
