[[File:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png|right|frame|Incomplete table of results]]
Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
Using the example of $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ with parameters
* $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
* $n = 7$ $($number of code symbols$)$,
* $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
* $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
* $k =3$ $($number of information symbols$)$,
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung
in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|m–BSC–Modells]] gilt:
the calculation of the block error probability in [[Channel_Coding/Error_Probability_and_Application_Areas#Block_error_probability_for_RSC_and_BDD|"Bounded Distance Decoding"]] $\rm (BDD)$ shall be shown. The corresponding equation is:
wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).
⇒ The calculation is performed for the [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaussian_Distributed_Random_Variables#Exceedance_probability|"AWGN channel"
]] characterized by the parameter $E_{\rm B}/N_0$:
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.
*The quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ can be expressed by the relation
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\epsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält
*But since in the considered code the symbols come from $\rm GF(2^3)$, the BSC model with parameter $\varepsilon$ must also still be adapted to the task.
*For the falsification probability of the [[Channel_Coding/Error_Probability_and_Application_Areas#Block_error_probability_for_RSC_and_BDD|"''m''– BSC" model]] applies:
:Here it is to be set $m = 3$ $($three bits per code symbol$)$.
In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:2.15Z_Nochmals_Pr(%CF%85_%E2%89%A0_u)_f%C3%BCr_BDD|Zusatzaufgabe Z2.15]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
⇒ For some $E_{\rm B}/N_0$ values the results are entered in the table above. The two rows with yellow background are briefly explained here:
* For $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ we get $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ and $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. The block error probability here can most easily be calculated using the complement:
* Wir weisen Sie auf folgende Interaktionsmodule hin:
# [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
# [[Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
⇒ You are to calculate the block error probabilities for the rows highlighted in red $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \rm dB$, $10 \ \rm dB)$.
:*The rows with blue background show some results of [[Aufgaben:Exercise_2.15Z:_Block_Error_Probability_once_more|"Exercise 2.15Z"]]. There ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ is calculated for $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$.
:*In subtasks '''(4)''' and '''(5)''' you are to establish the relationship between the quantity $\varepsilon_{\rm S}$ and the AWGN parameter $E_{\rm B}/N_0$ thus completing the above table.
===Fragebogen===
<u>Hints:</u>
* The exercise belongs to the chapter [[Channel_Coding/Error_Probability_and_Areas_of_Application| "Error Probability and Application Areas"]].
* We refer you here to the two interactive HTML5/JavaScript applets
{Wie hängt $\epsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:'' Verwenden Sie das angegebene Flash–Modul zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$.
{How is $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ related to $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ ? <u>Note:</u> Use the given applet to calculate ${\rm Q}(x)$.
{Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte (in $\rm dB$) für $\epsilon_{\rm S} = 0.01$ und $\epsilon_{\rm S} = 0.001$ und vervollständigen Sie die Tabelle.
'''(1)''' Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\epsilon = 0.0505$ abgelesen werden. Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
'''(1)''' From the table on the information page, the BSC parameter $\varepsilon = 0.0505$ can be read.
'''(2)''' Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\epsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \epsilon_{\rm S} = 0.97$:
'''(2)''' Following the same calculation procedure as in subtask '''(1)''', we obtain with $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte. Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
*You can see that here the difference between two numbers of almost the same size must be formed, so that the result could be affected by an error.
*The terms for $f = 6$ and $f = 7$ can be omitted here. They do not provide a relevant contribution.
'''(3)''' Hier ist bereits $\epsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \epsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
*The relation between $\varepsilon$ and $E_{\rm B}/N_0$ is:
:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Programm [[Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter:
*The inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ is obtained with the applet [[Applets:QFunction|"Complementary Gaussian Error Functions"]] to $x = 1.82$. This further gives:
[[File:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png|center|frame|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]
Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$.
One can see the clearly less favorable (asymptotic) behavior of the (green) code $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ compared to the (red) comparison code $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung. Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat. Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der BDD–Blockfehlerwahrscheinlichkeit demonstrieren zu können.
# For abscissa values smaller than $10 \ \rm dB$ the result is even worse than without coding.
# It should be pointed out again that the $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ has only little practical meaning.
# It was chosen for this exercise only to be able to demonstrate with reasonable effort the calculation of the block error probability for "Bounded Distance Decoding" $\rm (BDD)$.
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^2.6 Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete^]]
[[Category:Channel Coding: Exercises|^2.6 Block Error Probability of RS Codes^]]
[[de:Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN]]
But since in the considered code the symbols come from $\rm GF(2^3)$, the BSC model with parameter $\varepsilon$ must also still be adapted to the task.
For the falsification probability of the "m– BSC" model applies:
Here it is to be set $m = 3$ $($three bits per code symbol$)$.
⇒ For some $E_{\rm B}/N_0$ values the results are entered in the table above. The two rows with yellow background are briefly explained here:
For $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ we get $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ and $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. The block error probability here can most easily be calculated using the complement:
For $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ one gets $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ and $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. With this very small falsification probability, the $f = 3$ term dominates, and we obtain:
⇒ You are to calculate the block error probabilities for the rows highlighted in red $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \rm dB$, $10 \ \rm dB)$.
The rows with blue background show some results of "Exercise 2.15Z". There ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ is calculated for $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$.
In subtasks (4) and (5) you are to establish the relationship between the quantity $\varepsilon_{\rm S}$ and the AWGN parameter $E_{\rm B}/N_0$ thus completing the above table.
(2) Following the same calculation procedure as in subtask (1), we obtain with $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
the course of the block error probability as function of $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$,
and the completely filled result table.
One can see the clearly less favorable (asymptotic) behavior of the (green) code $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ compared to the (red) comparison code $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
For abscissa values smaller than $10 \ \rm dB$ the result is even worse than without coding.
It should be pointed out again that the $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ has only little practical meaning.
It was chosen for this exercise only to be able to demonstrate with reasonable effort the calculation of the block error probability for "Bounded Distance Decoding" $\rm (BDD)$.
