Digital Signal Transmission/Error Probability for Baseband Transmission

1. Digital Signal Transmission
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Error Probability for Baseband Transmission

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Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Die Grafik zeigt ein sehr einfaches, aber allgemeingültiges Modell eines binären Übertragungssystems.
Dieses lässt sich wie folgt charakterisieren:

• Die Quelle und die Sinke werden durch die beiden Binärfolgen 〈q_ν〉 und 〈υ_ν〉 beschrieben.
• Das gesamte Übertragungsystem – bestehend aus Sender, Übertragungskanal inklusive Störungen und Empfänger – wird als „Black Box” mit binärem Ein– und Ausgang betrachtet.
• Dieser „Digitale Kanal” wird allein durch die Fehlerfolge 〈e_ν〉 charakterisiert. Bei fehlerfreier Übertragung des ν–ten Bits (υ_ν = q_ν) gilt e_ν = 0, andernfalls (υ_ν ≠ q_ν) wird e_ν = 1 gesetzt.
  
  

: Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist bei einem Binärsystem wie folgt gegeben:\[\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})]= \overline {\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})} = \lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm \rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})\hspace{0.05cm}.\]
Diese statistische Größe ist das wichtigste Beurteilungskriterium eines jeden Digitalsystems.

Die Berechnung als Erwartungswert E[…..] gemäß dem ersten Teil der obigen Gleichung entspricht einer Scharmittelung über die Verfälschungswahrscheinlichkeit Pr(υ_ν ≠ q_ν) des ν–ten Symbols, während die überstreichende Linie im rechten Teil eine Zeitmittelung kennzeichnet. Beide Berechnungsarten führen – unter der gerechtfertigten Annahme ergodischer Prozesse – zum gleichen Ergebnis, wie im Kapitel 4 des Buches „Stochastische Signaltheorie” gezeigt wurde.

Auch aus der Fehlerfolge 〈e_ν〉 lässt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit als Erwartungswert bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass e_ν nur die Werte 0 und 1 annehmen kann:\[\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]= {\rm E}[{\it e_{\nu}}]\hspace{0.05cm}.\] Die obige Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt unabhängig davon, ob es statistische Bindungen innerhalb der Fehlerfolge 〈e_ν〉 gibt oder nicht. Je nachdem ist der Aufwand zur Berechnung von p_B unterschiedlich groß und bei einer Systemsimulation müssen unterschiedliche digitale Kanalmodelle herangezogen werden. Im Kapitel 5 wird gezeigt, dass das sog. BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) statistisch unabhängige Fehler liefert, während für die Beschreibung von Bündelfehlerkanälen auf die Modelle von Gilbert–Elliott: .: Capacity of Burst–Noise Channel, In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266 and McCullough : The Binary Regenerative Channel, In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968 zurückgegriffen werden muss.

Definition der Bitfehlerquote (1)

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B eignet sich zum Beispiel gut für die Konzipierung und Optimierung von Digitalsystemen. Diese ist eine Apriori-Kenngröße, die eine Vorhersage über das Fehlerverhalten eines Nachrichtensystems erlaubt, ohne dass dieses bereits realisiert sein muss. Dagegen muss zur messtechnischen Erfassung der Qualität eines realisierten Systems oder bei einer Systemsimulation auf die Bitfehlerquote übergegangen werden, die durch den Vergleich von Quellen– und Sinkensymbolfolge ermittelt wird. Diese ist somit eine Aposteriori-Kenngröße des Systems.

:Die Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate, BER) ist das Verhältnis aus der Anzahl n_B(N) der aufgetretenen Bitfehler (υ_ν ≠ q_ν) und der Anzahl N der insgesamt übertragenen Symbole\[h_{\rm B}(N) = \frac{n_{\rm B}(N)}{N} \hspace{0.05cm}.\] Im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt die Bitfehlerquote eine relative Häufigkeit dar; sie wird demzufolge auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

Die Schreibweise h_B(N) soll deutlich machen, dass die per Messung oder durch Simulation ermittelte Bitfehlerquote signifikant von dem Parameter N – also der Anzahl der insgesamt übertragenen oder simulierten Symbole – abhängt. Nach den elementaren Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung stimmt nur im Grenzfall N → ∞ die Aposteriori–Kenngröße h_B mit der Apriori–Kenngröße p_B exakt überein.

Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit wird in einem Lernvideo zum Buch „Stochastische Signaltheorie” verdeutlicht:
Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen (Dateigröße: 1.97 MB, Dauer: 4:25)

Für die nachfolgende Herleitung wird das BSC–Modell zugrunde gelegt, das in Kapitel 5.2Please add link im Detail beschrieben wird. Jedes einzelne Bit wird mit der Wahrscheinlichkeit p = Pr(υ_ν ≠ q_ν) = Pr(e_ν = 1) verfälscht, unabhängig von den Fehlerwahrscheinlichkeiten der benachbarten Symbole. Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B ist somit ebenfalls gleich p.

Definition der Bitfehlerquote (2)

Nun soll abgeschätzt werden, wie genau die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B = p beim BSC-Modell durch die Bitfehlerquote h_B approximiert wird. Dies geschieht in mehreren Schritten:

• Die Anzahl der Bitfehler bei der Übertragung von N Symbolen ist eine diskrete Zufallsgröße:\[n_{\rm B}(N) = \sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu} \hspace{0.2cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1, ... , N \}\hspace{0.05cm}.\]
• Bei statistisch unabhängigen Fehlern (BSC) ist n_B binominalverteilt. Demzufolge gilt:\[m_{n{\rm B}}=N \cdot p_{\rm B},\hspace{0.2cm}\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}\hspace{0.05cm}.\]
• Für Mittelwert und Streuung der Bitfehlerquote h_B = n_B/N gilt deshalb:\[m_{h{\rm B}}= \frac{m_{n{\rm B}}}{N} = p_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_{h{\rm B}}= \frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}= \sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.05cm}.\]
• Nach Moivre und Laplace lässt sich die Binominalverteilung in eine Gaußverteilung überführen:\[f_{h{\rm B}}({h_{\rm B}}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{h{\rm B}}}\cdot {\rm exp} \left[-\frac{(h_{\rm B}-p_{\rm B})^2}{2 \cdot \sigma_{h{\rm B}}^2}\right].\]
• Mit dem Gaußschen Fehlerintergal Q(x) lässt sich somit die Wahrscheinlichkeit p_ε berechnen, dass die per Simulation/Messung über N Symbole ermittelte Bitfehlerquote h_B(N) betragsmäßig um weniger als einen Wert ε von der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B abweicht:\[p_{\varepsilon}= {\rm Pr} \left( |h_{\rm B}(N) - p_{\rm B}| < \varepsilon \right) = 1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon}{\sigma_{h{\rm B}}} \right)= 1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon \cdot \sqrt{N}}{\sqrt{p_{\rm B} \cdot (1-p_{\rm B})}} \right)\hspace{0.05cm}.\]

Dieses Ergebnis ist wie folgt zu interpretieren: Wenn man unendlich viele Versuchsreihen über jeweils N Symbole durchführt, ist der Mittelwert m_hB tatsächlich gleich der gesuchten Fehlerwahrscheinlichkeit p_B. Bei einer einzigen Versuchsreihe wird man dagegen nur eine Näherung erhalten, wobei die jeweilige Abweichung vom Sollwert bei mehreren Versuchsreihen gaußverteilt ist.

: Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit betrage p_B = 10^–3 und es ist bekannt, dass die Bitfehler statistisch unabhängig sind. Macht man nun sehr viele Versuchsreihen mit jeweils N = 10⁵ Symbolen, so werden die jeweiligen Ergebnisse h_B entsprechend einer Gaußverteilung um den Sollwert 10^–3 variieren. Die Streuung beträgt dabei

\(\sigma_{h{\rm B}}= \sqrt{{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}/{N}}\approx 10^{-4}\hspace{0.05cm}.\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit einen Wert zwischen 0.9 · 10^–3 und 1.1 · 10^–3 (ε = 10^–4) haben wird, ist somit gleich p_ε = 1 – 2 · Q(ε/σ_hB) = 1 – 2 · Q(1) ≈ 68.4%. Soll diese Wahrscheinlichkeit (Genauigkeit) auf 95% gesteigert werden, so müsste N auf 400 000 erhöht werden.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (1)

Entsprechend den Voraussetzungen zu diesem Kapitel gehen wir davon aus, dass das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten wie folgt dargestellt werden kann:\[ d(\nu T) = d_{\rm S}(\nu T)+d_{\rm N}(\nu T)\hspace{0.05cm}. \] Der Nutzanteil wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) f_dS(d_S) beschrieben, wobei wir hier von unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten p_L = Pr(d_S = –s₀), p_H = Pr(d_S = +s₀) = 1– p_L ausgehen. Die WDF f_dN(d_N) der Störkomponente ist gaußförmig und besitzt die Streuung σ_d.

Die WDF f_d(d) der Detektionsabtastwerte d(νT) ergibt sich unter der Voraussetzung, dass d_S(νT) und d_N(νT) statistisch unabhängig voneinander sind („signalunabhängiges Rauschen”), als Faltungsprodukt:

\(f_d(d) = f_{d{\rm S}}(d_{\rm S}) \star f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\hspace{0.05cm}.\)

Der Schwellenwertentscheider mit der Schwelle E = 0 trifft dann eine falsche Entscheidung, wenn

• das Symbol L gesendet wurde (d_S = –s₀) und d > 0 ist (rote schraffierte Fläche), oder
• das Symbol H gesendet wurde (d_S = +s₀) und d < 0 ist (blaue schraffierte Fläche).

Da die Flächen der zwei Gaußkurven zusammen 1 ergeben, gibt die Summe aus der rot und der blau schraffierten Fläche die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B an. Die beiden grün schraffierten Flächen in der oberen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_dN(d_N) sind – jede für sich – ebenfalls gleich p_B.
Die anhand der Grafik veranschaulichten Ergebnisse sollen nun formelmäßig hergeleitet werden. Es gilt\[p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{H}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{L})+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{L}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{H})\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei sind p_L und p_H die Quellensymbolwahrscheinlichkeiten, während die jeweils zweiten, bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(υ_ν | q_ν) die Verfälschungen durch den AWGN–Kanal beschreiben. Aus der Entscheidungsregel des Schwellenwertentscheiders (mit Schwelle E = 0) ergibt sich auch:\[p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =\]

\[= p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.\]

Die Herleitung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (2)

Die weitere Herleitung soll nun Schritt für Schritt erfolgen. Ausgegangen wird von der Gleichung:\[p_{\rm B} & = & p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =\\ & = & p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.\]

• Die beiden Überschreitungswahrscheinlichkeiten in obiger Gleichung sind aufgrund der Symmetrie der Gaußschen WDF f_dN(d_N) gleich und es gilt:\[p_{\rm B} = (p_{\rm L} + p_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0) = {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)\hspace{0.05cm}.\]

Das bedeutet, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einem Binärsystem mit der Schwelle E = 0 nicht von den Symbolwahrscheinlichkeiten p_L und p_H = 1 – p_L abhängt.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass der gaußverteilte Stör– bzw. Rauschterm mit Streuung σ_d größer ist als die NRZ–Sendeimpulsamplitude s₀, ergibt sich zu

\(p_{\rm B} = \int_{s_0}^{+\infty}f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\,{\rm d} d_{\rm N} = \frac{\rm 1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d}\int_{ s_0}^{+\infty}{\rm exp} \left [-\frac{d_{\rm N}^2}{2\sigma_d^2} \right ]\,{\rm d} d_{\rm N}\hspace{0.05cm}.\)

• Unter Verwendung des komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet das Ergebnis\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]
• Häufig – insbesondere in der englischsprachigen Literatur – wird anstelle der Funktion Q(x) die vergleichbare komplementäre Error Function erfc(x) verwendet. Mit dieser gilt:\[p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} {\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]

Beide Funktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. Nachfolgend finden Sie ein Interaktionsmodul zur Berechnung der Funktionswerte von Q(x) und 1/2 · erfc(x):: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen Zur Auswertung obiger Gleichungen ist nach Ansicht des Autors bei der Basisbandübertragung die <nobr>Q–Funktion</nobr> besser geeignet. Aber das ist natürlich Geschmacksache.

: Für das Folgende wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand 0.1 aufgelistet sind.

Mit s₀/σ_d = 4 erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:\[p_{\rm B} & = & {\rm Q} (4) = 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm B} & = & {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2}})= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.\] Richtig ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist.
Außerhalb von Übungsbeispielen wird s₀/σ_d in der Regel einen „krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet „Q(x)” natürlich keinen Vorteil gegenüber „erfc(x)”.