Difference between revisions of "Channel Coding/Examples of Binary Block Codes"
From LNTwww
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{Header |Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung |Vorherige Seite=Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen |Nächste Seite=Allgemeine Beschreibung li…“) |
|||
| Line 36: | Line 36: | ||
*Für <i>k</i> = 2 ⇒ <i>n</i> = 3 ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei in der ersten Zeile das Prüfbit jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist: | *Für <i>k</i> = 2 ⇒ <i>n</i> = 3 ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei in der ersten Zeile das Prüfbit jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist: | ||
| − | :<math>\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | + | ::<math>\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} |
\underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)</math> | \underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)</math> | ||
Revision as of 22:45, 8 January 2017
Single Parity–check Codes (1)
Der Single Parity–check Code (SPC) fügt zu dem Informationsblock u = (u1, u2, ... , uk) ein Prüfbit (englisch: Parity) p hinzu:
u_=(u1,u2,...,uk)⇒x_=(x1,x2,...,xn)=(u1,u2,...,uk,p).
Die Grafik zeigt drei Beispiele solcher Codes mit |C| = 4 (k = 2), |C| = 8 (k = 3) und |C| = 16 (k = 4).
Dieser sehr einfache Code ist wie folgt charakterisiert:
- Aus n = k + 1 folgt für die Coderate R = k/n = (n – 1)/n und für die Redundanz 1 – R = 1/n. Für k = 2 ergibt sich zum Beispiel die Coderate 2/3 und die relative Redundanz beträgt 33.3%.
- Das Prüfbit erhält man durch die Modulo–2–Addition. Darunter versteht man die Addition im Galoisfeld zur Basis 2 ⇒ GF(2), sodass 1⊕1 = 0 ergibt:
- p=u1⊕u2⊕...⊕uk.
- Damit enthält jedes gültige Codewort x eine gerade Anzahl von Einsen. Ausgedrückt mit ⊕ bzw. in vereinfachter Schreibweise entsprechend der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:
- x1⊕x2⊕...⊕xn=0,oder:n∑i=1xi=0,AdditioninGF(2).
- Für k = 2 ⇒ n = 3 ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei in der ersten Zeile das Prüfbit jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:
- x_0=(0,0→0),x_1=(0,1→1),x_2=(1,0→1),x_3=(1,1→0)
- Es handelt sich um einen linearen Code, da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel x1 ⊕ x2 = x3.
- Für beliebiges k ⇒ n = k + 1 unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Bei diesem Code ist die minimale Distanz dmin = 2.
Mit der allgemeinen Codebezeichnung (n, k, dmin) lässt sich jeder Single Parity–check Code auch mit (n, n – 1, 2) benennen. Die Grafik zeigt den SPC (3, 2, 2), den SPC (4, 3, 2) und den SPC (5, 4, 2).
: Jeder Single Parity–check Code (SPC) lässt sich formal wie folgt beschreiben:
C={x_∈GF(2n):mitgeradzahligerAnzahlvonEinseninx_}.
