Difference between revisions of "Signal Representation/Analytical Signal and its Spectral Function"

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}}
 
}}
  
==Definition im Frequenzbereich==
+
==Definition in the frequency domain==
 +
<br>
 +
We consider a real band-pass signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; with the corresponding band-pass spectrum&nbsp; $X(f)$,&nbsp; which has an even real and an odd imaginary part with respect to the frequency zero point.&nbsp; It is assumed that the carrier frequency&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; is much larger than the bandwidth of the band-pass signal&nbsp; $x(t)$.
  
Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen BP–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_T$ sehr viel größer als die Bandbreite des BP–Signals $x(t)$ ist.
+
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
$\text{Definition:}$&nbsp; The&nbsp; &raquo;'''analytical signal'''&laquo;&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; belonging to the physical signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; is that time function, whose spectrum fulfills the following property:
 +
[[File:EN_Sig_T_4_2_S1a.png|right|frame|Analytical signal in the frequency domain]]
 +
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 +
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
  
{{Definition}}
+
The&nbsp; &raquo;'''sign function'''&laquo;&nbsp; is equal to&nbsp; $+1$&nbsp;  for positive $f$&ndash;values and for negative&nbsp; $f$-values equal to&nbsp; $-1$.
Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+
*The&nbsp; $($double sided$)$&nbsp; limit value returns&nbsp; $\sign(0) = 0$.
 
   
 
   
$X_+(f)=\left[1+{\rm sign}(f)\right] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
+
*The index&nbsp; "+"&nbsp; should make clear that&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; has only parts at positive frequencies.
X(f) \; \rm f\ddot{u}r\; {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\; {\it f} < 0.}}\right.$
 
  
Die so genannte '''Signumfunktion''' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich +1 und für negative $f$–Werte gleich –1. Der (beidseitige) Grenzwert liefert sign(0) = 0.
 
  
{{end}}
+
From the graphic you can see the calculation rule for&nbsp; $X_+(f)$:&nbsp; The actual band-pass spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; will
 +
*be doubled at the positive frequencies, and
  
Aus der Abbildung erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
+
*set to zero at the negative frequencies.}}
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
+
<br clear=all>
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
+
{{GraueBox|TEXT= 
Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
+
$\text{Example 1:}$&nbsp; The graph
 +
[[File:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|right|frame|Spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; and Spectrum&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; of the analytical signal ]]
  
 +
*on the left shows the&nbsp; $($discrete and complex$)$&nbsp; spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; of the&nbsp; "physical band-pass signal"
  
{{Beispiel}}
+
:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
Das nachfolgende Bild zeigt links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des BP–Signals
 
 
x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).
+
  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
 +
 
 +
*on the right the&nbsp; $($also discrete and complex$)$&nbsp; spectrum&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; of the corresponding&nbsp; "analytical signal"&nbsp; $x_{+}(t)$.}}
 +
 
 +
 
 +
==General calculation rule in the time domain==
 +
<br>
 +
Now we will take a closer look at the spectrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; of the analytical signal and divide it with respect to&nbsp; $f = 0$&nbsp; into 
 +
[[File:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|For a clear explanation of the analytical signal]]
 +
 
 +
*an even&nbsp; $($German:&nbsp; "gerade" &nbsp; &rArr; &nbsp; "$\rm g"$)&nbsp; part&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$,&nbsp; and
 +
 
 +
*an odd &nbsp; $($German:&nbsp; "ungerade" &nbsp; &rArr; &nbsp; "$\rm u$")&nbsp; part&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$:
 +
:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
 +
All these spectra are generally complex.
  
Rechts daneben ist das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals dargestellt.
+
If one considers the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Theorems#Assignment_Theorem|&raquo;Assignment Theorem&laquo;]]&nbsp; of the Fourier transform,&nbsp; then the following statements are possible on basis of the graph:
 +
*The even part&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; of&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; leads after the Fourier transform to a real time signal,&nbsp; and the odd part&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; to an imaginary one.
  
{{end}}
 
  
 +
*It is obvious that&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; is equal to the physical Fourier spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; and thus the real part of&nbsp; $x_{\rm +g}(t)$&nbsp; is equal to the given physical signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; with band-pass properties.
  
==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
 
  
Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f$ = 0 geraden und einen ungeraden Anteil auf: $X_+(f) = X_{+g}(f) + X_{+u}(f)$. Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
+
*If we denote the imaginary part with&nbsp; $y(t)$,&nbsp; the analytical signal is:
 +
:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
 +
*According to the generally valid laws of Fourier transform corresponding to the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Theorems#Assignment_Theorem|&raquo;Assignment Theorem&laquo;]],&nbsp; the following applies to the spectral function of the imaginary part:
 +
:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 +
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 +
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
 +
*After transforming this equation into the time domain,&nbsp; the multiplication becomes the&nbsp; [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|&raquo;convolution&laquo;]],&nbsp; and one gets:
 +
:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 +
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
 +
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
 +
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  
Berücksichtigt man den Zuordnungssatz der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
+
==Representation with Hilbert transform==
*Der gerade Anteil $X_{+g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem rein reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{+u}(f)$ zu einem rein imaginären.
+
<br>
*Es ist offensichtlich, dass $X_{+g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{+g}(t)$ gleich dem vorgegebenen BP–Signal $x(t)$ ist.
+
At this point it is necessary to briefly discuss a further spectral transformation,&nbsp; which is dealt thoroughly in the book&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Conclusions_from_the_Allocation_Theorem#Hilbert_transform|&raquo;Linear and Time-invariant Systems&laquo;]]&nbsp;.
*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit y(t), so lautet das analytische Signal:
+
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
$\text{Definition:}$&nbsp; For the&nbsp; &raquo;'''Hilbert transform'''&laquo;&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; of a time function&nbsp; $x(t)$&nbsp; applies:
 
   
 
   
$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$
+
:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
 +
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
 +
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  
*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem Kapitel 3.3 gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
+
*This particular integral cannot be solved in a simple,&nbsp; conventional way,&nbsp; but must be evaluated using the&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value &raquo;Cauchy principal value&laquo;].
 +
 
 +
*Correspondingly valid in the frequency domain:
 
   
 
   
${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
+
:$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
+
 
sign}(f)}{{\rm j}}\cdot X(f).$
 
  
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die Faltungsoperation, und man erhält:
+
Thus,&nbsp; the result of the last section can be summarized with this definition as follows:
 +
*You get from the real,&nbsp; physical band-pass signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; the analytic signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; by adding to&nbsp; $x(t)$&nbsp; an imaginary part according to the Hilbert transform:
 
   
 
   
$y(t) = \frac{1}{{\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
+
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{{\rm \pi}} \cdot
 
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{{t -
 
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$
 
  
 +
*The Hilbert transform&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; disappears only in the case of&nbsp; $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; DC signal.&nbsp; With all other signal forms the analytic signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; is always complex.
  
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch Lineare zeitvariante Systeme noch eingehend behandelt wird.
+
*From the analytical signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; the real band-pass signal can be easily determined by real part formation:
 +
:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
  
{{Definition}}
+
{{GraueBox|TEXT= 
Für die Hilberttransformierte H{ ... } einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
+
$\text{Example 2:}$&nbsp; The principle of the Hilbert transformation is illustrated here by the following diagram:
 +
*According to the left representation&nbsp; $\rm (A)$,&nbsp; one gets the analytical signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; from the physical signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  by adding an imaginary part &nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$.
 
   
 
   
$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{{\rm \pi}} \cdot
+
*Here,&nbsp; $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; is a real time function,&nbsp; which can be calculated easily in the spectral domain by multiplying the spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; with&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$.
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{{t -
 
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$
 
  
Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden. Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
+
[[File:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|right|frame|Illustration of the Hilbert transform]]
 
$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$
 
  
{{end}}
 
  
 +
The right representation&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; is equivalent to&nbsp; $\rm (A)$:
 +
*With the imaginary function&nbsp; $z(t)$&nbsp; one obtains:
 +
:$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
 +
*A comparison of both models shows that it is indeed true:
 +
:$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$}}
  
Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
 
*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 
 
$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$
 
  
*Die Hilberttransformierte H{$x(t)$} verschwindet nur für das Gleichsignal $x(t)$ = const. Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
 
*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale BP–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
 
 
$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$
 
  
Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die untere Grafik nochmals verdeutlicht. Nach der linken Darstellung (A) kommt man vom physikalischen Signal x(t) zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil j · $y(t)$ hinzufügt. Hierbei ist $y(t)$ = H[$x(t)$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit „–j · sign($f$)” angeben lässt.
+
==Pointer diagram representation of the harmonic oscillation==
 +
<br>
 +
The spectral function&nbsp; $X(f)$&nbsp; of a harmonic oscillation&nbsp; $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$&nbsp; consists of two Dirac delta functions at frequencies
 +
* $+f_{\rm T}$&nbsp; with complex weight &nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
  
Die rechte Darstellung (B) ist äquivalent zu (A). Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t)$ = j · $y(t)$ ist.
+
* $-f_{\rm T}$&nbsp; with complex weight &nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
  
==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
 
  
Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_Tt - \phi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
+
Thus, the spectrum of the analytical signal is&nbsp; $($without the Dirac delta function at the frequency&nbsp; $f =-f_{\rm T})$:
*$+f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(-\text{j}\cdot \phi)$,
 
*$-f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(+\text{j}\cdot \phi)$.
 
Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals:
 
  
$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
+
:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$
+
T}) .$$
 
   
 
   
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
+
The corresponding time function is obtained by applying the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Theorems#Shifting_Theorem|&raquo;Shifting Theorem&laquo;]]:
 
   
 
   
$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm T} t
+
:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$
+
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
 +
 
 +
This equation describes a rotating pointer with constant angular velocity&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$.
 +
 
 +
In the following,&nbsp; we will also refer to the time course of an analytical and frequency-discrete  signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; as&nbsp; &raquo;'''pointer diagram'''&laquo;.
 +
{{GraueBox|TEXT= 
 +
$\text{Example 3:}$&nbsp; For illustrative reasons the coordinate system here is rotated&nbsp; $($real part upwards,&nbsp; imaginary part to the left$)$,&nbsp; contrary to the usual representation by&nbsp; $90^\circ$.
 +
 
 +
[[File:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|right|frame|Pointer diagram of a harmonic oscillation]]
 +
 
 +
On the basis of this diagram the following statements are possible:
 +
*At the start time&nbsp; $t = 0$&nbsp; the pointer of length&nbsp; $A$&nbsp; $($amplitude$)$&nbsp; lies with angle&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in the complex plane.&nbsp; In the drawn example,&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
 +
 
 +
*For times&nbsp; $t > 0$&nbsp; the pointer rotates with constant angular velocity&nbsp; $($circular frequency$)$&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematically positive direction,&nbsp; i.e. counterclockwise.
 +
 
 +
*The top of the pointer thus always lies on a circle with radius&nbsp; $A$&nbsp; and requires exactly the time&nbsp; $T_0$,&nbsp; i.e. the&nbsp; &raquo;period duration&laquo;&nbsp; of the harmonic oscillation&nbsp; $x(t)$&nbsp; for one rotation.
 +
 
 +
*The projection of the analytical signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; onto the real axis,&nbsp; marked by red dots,&nbsp; provides the instantaneous values of&nbsp; $x(t)$.}}
  
Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_T = 2\pi f_T$ drehenden Zeiger. Aus Darstellungsgründen ist im folgenden Bild das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um 90° nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
 
  
Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
 
*Zum Startzeitpunkt $t$ = 0 liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\phi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\phi$ = 45°.
 
*Für Zeiten $t$ > 0 dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_T$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
 
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer.
 
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte des tatsächlichen, reellen BP–Signals $x(t)$.
 
  
==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
+
==Pointer diagram  of a sum of harmonic oscillations==
 +
<br>
 +
For the further description we assume the following spectrum for the analytical signal:
  
Für die weitere Beschreibung gehen wir von folgendem Spektrum des analytischen Signals aus:
+
[[File:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|right|frame|Pointer diagram  of a sum of three oscillations]]
 
   
 
   
$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
+
:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$
+
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
 +
 
 +
#The left graphic shows such a spectrum for the example&nbsp; $I = 3$.&nbsp;
 +
#If one chooses&nbsp; $I$&nbsp; relatively large and the distance between adjacent spectral lines correspondingly small,&nbsp; then  with this equation frequency&ndash;continuous spectral functions&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; can also be approximated.
  
Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I$ = 3. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung aber auch kontinuierliche Spektralfunktionen angenähert werden.
 
  
Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
+
In the right graphic the corresponding time function is indicated.&nbsp; This is in general:
 
   
 
   
$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{{\rm j}(\omega_i
+
:$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i
\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$
+
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
 +
 
 +
To note about this graphic:
 +
*The sketch shows the initial position of the pointers at start time&nbsp; $t = 0$&nbsp; corresponding to the amplitudes&nbsp; $A_i$&nbsp; and the phase positions&nbsp; $\varphi_i$.
  
Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
+
*The tip of the resulting pointer compound is marked by the violet cross.&nbsp; One obtains by vectorial addition of the three individual pointers for the time&nbsp; $t = 0$:
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t$ = 0 entsprechend den Amplituden $A_i$ und Phasenlagen $\phi_i$.
+
:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t$ = 0:
+
*For times&nbsp; $t > 0$&nbsp; the three pointers rotate at different angular velocities&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$.&nbsp; The red pointer rotates faster than the green one,&nbsp; but slower than the blue one.
 +
 
 +
*Since all pointers rotate counterclockwise, the resulting pointer&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; will also tend to move in this direction.&nbsp;
 
   
 
   
$x_+(t) = 1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ)+ 2 +1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$
+
*At time&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; the tip of the resulting pointer for the given parameter values is
  
*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pif_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+
:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t$ = 1 μs liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
 
 
$x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}\mu s}) & = & 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
Line 146: Line 187:
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
 
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} \\
+
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\
& = & 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot
+
& = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot
 
\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
 
\hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm
 
e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx
 
e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx
1.673- {\rm j} \cdot 0.464.$
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1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
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*The resulting pointer tip does not lie on a circle like a single oscillation, but a complicated geometric figure is created.
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The interactive applet&nbsp; [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|&raquo;Physical Signal and Analytical Signal&laquo;]]&nbsp; illustrates&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; for the sum of three harmonic oscillations.
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==Exercises for the chapter==
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[[Aufgaben:Exercise 4.3: Vector Diagram Representation|Exercise 4.3: Vector Diagram Representation]]
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[[Aufgaben:Exercise 4.3Z: Hilbert Transformator|Exercise 4.3Z: Hilbert Transformator]]
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[[Aufgaben:Exercise 4.4: Vector Diagram for DSB-AM|Exercise 4.4: Vector Diagram for DSB-AM]]
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[[Aufgaben:Exercise 4.4Z: Vector Diagram for DSB-AM|Exercise 4.4Z: Vector Diagram for SSB-AM]]
  
*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen harmonischen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.
+
 
Das folgende Interaktionsmodul zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen:
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Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals
 
  
==Aufgaben zu Kapitel 4.2
 
  
  

Latest revision as of 16:48, 19 June 2023

Definition in the frequency domain


We consider a real band-pass signal  $x(t)$  with the corresponding band-pass spectrum  $X(f)$,  which has an even real and an odd imaginary part with respect to the frequency zero point.  It is assumed that the carrier frequency  $f_{\rm T}$  is much larger than the bandwidth of the band-pass signal  $x(t)$.

$\text{Definition:}$  The  »analytical signal«  $x_+(t)$  belonging to the physical signal  $x(t)$  is that time function, whose spectrum fulfills the following property:

Analytical signal in the frequency domain
$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The  »sign function«  is equal to  $+1$  for positive $f$–values and for negative  $f$-values equal to  $-1$.

  • The  $($double sided$)$  limit value returns  $\sign(0) = 0$.
  • The index  "+"  should make clear that  $X_+(f)$  has only parts at positive frequencies.


From the graphic you can see the calculation rule for  $X_+(f)$:  The actual band-pass spectrum  $X(f)$  will

  • be doubled at the positive frequencies, and
  • set to zero at the negative frequencies.


$\text{Example 1:}$  The graph

Spectrum  $X(f)$  and Spectrum  $X_{+}(f)$  of the analytical signal
  • on the left shows the  $($discrete and complex$)$  spectrum  $X(f)$  of the  "physical band-pass signal"
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
  • on the right the  $($also discrete and complex$)$  spectrum  $X_{+}(f)$  of the corresponding  "analytical signal"  $x_{+}(t)$.


General calculation rule in the time domain


Now we will take a closer look at the spectrum  $X_+(f)$  of the analytical signal and divide it with respect to  $f = 0$  into

For a clear explanation of the analytical signal
  • an even  $($German:  "gerade"   ⇒   "$\rm g"$)  part  $X_{\rm +g}(f)$,  and
  • an odd   $($German:  "ungerade"   ⇒   "$\rm u$")  part  $X_{\rm +u}(f)$:
$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

All these spectra are generally complex.

If one considers the  »Assignment Theorem«  of the Fourier transform,  then the following statements are possible on basis of the graph:

  • The even part  $X_{\rm +g}(f)$  of  $X_{+}(f)$  leads after the Fourier transform to a real time signal,  and the odd part  $X_{\rm +u}(f)$  to an imaginary one.


  • It is obvious that  $X_{\rm +g}(f)$  is equal to the physical Fourier spectrum  $X(f)$  and thus the real part of  $x_{\rm +g}(t)$  is equal to the given physical signal  $x(t)$  with band-pass properties.


  • If we denote the imaginary part with  $y(t)$,  the analytical signal is:
$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
  • According to the generally valid laws of Fourier transform corresponding to the  »Assignment Theorem«,  the following applies to the spectral function of the imaginary part:
$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
  • After transforming this equation into the time domain,  the multiplication becomes the  »convolution«,  and one gets:
$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Representation with Hilbert transform


At this point it is necessary to briefly discuss a further spectral transformation,  which is dealt thoroughly in the book  »Linear and Time-invariant Systems« .

$\text{Definition:}$  For the  »Hilbert transform«  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  of a time function  $x(t)$  applies:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  • This particular integral cannot be solved in a simple,  conventional way,  but must be evaluated using the  »Cauchy principal value«.
  • Correspondingly valid in the frequency domain:
$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$


Thus,  the result of the last section can be summarized with this definition as follows:

  • You get from the real,  physical band-pass signal  $x(t)$  the analytic signal  $x_+(t)$  by adding to  $x(t)$  an imaginary part according to the Hilbert transform:
$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
  • The Hilbert transform  $\text{H}\{x(t)\}$  disappears only in the case of  $x(t) = \rm const.$   ⇒   DC signal.  With all other signal forms the analytic signal  $x_+(t)$  is always complex.
  • From the analytical signal  $x_+(t)$  the real band-pass signal can be easily determined by real part formation:
$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Example 2:}$  The principle of the Hilbert transformation is illustrated here by the following diagram:

  • According to the left representation  $\rm (A)$,  one gets the analytical signal  $x_+(t)$  from the physical signal  $x(t)$  by adding an imaginary part   ${\rm j} \cdot y(t)$.
  • Here,  $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  is a real time function,  which can be calculated easily in the spectral domain by multiplying the spectrum  $X(f)$  with  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$.
Illustration of the Hilbert transform


The right representation  $\rm (B)$  is equivalent to  $\rm (A)$:

  • With the imaginary function  $z(t)$  one obtains:
$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
  • A comparison of both models shows that it is indeed true:
$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$


Pointer diagram representation of the harmonic oscillation


The spectral function  $X(f)$  of a harmonic oscillation  $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$  consists of two Dirac delta functions at frequencies

  • $+f_{\rm T}$  with complex weight   $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
  • $-f_{\rm T}$  with complex weight   $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.


Thus, the spectrum of the analytical signal is  $($without the Dirac delta function at the frequency  $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

The corresponding time function is obtained by applying the  »Shifting Theorem«:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

This equation describes a rotating pointer with constant angular velocity  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$.

In the following,  we will also refer to the time course of an analytical and frequency-discrete signal  $x_+(t)$  as  »pointer diagram«.

$\text{Example 3:}$  For illustrative reasons the coordinate system here is rotated  $($real part upwards,  imaginary part to the left$)$,  contrary to the usual representation by  $90^\circ$.

Pointer diagram of a harmonic oscillation

On the basis of this diagram the following statements are possible:

  • At the start time  $t = 0$  the pointer of length  $A$  $($amplitude$)$  lies with angle  $-\varphi$  in the complex plane.  In the drawn example,  $\varphi = 45^\circ$.
  • For times  $t > 0$  the pointer rotates with constant angular velocity  $($circular frequency$)$  $\omega_{\rm T}$  in mathematically positive direction,  i.e. counterclockwise.
  • The top of the pointer thus always lies on a circle with radius  $A$  and requires exactly the time  $T_0$,  i.e. the  »period duration«  of the harmonic oscillation  $x(t)$  for one rotation.
  • The projection of the analytical signal  $x_+(t)$  onto the real axis,  marked by red dots,  provides the instantaneous values of  $x(t)$.


Pointer diagram of a sum of harmonic oscillations


For the further description we assume the following spectrum for the analytical signal:

Pointer diagram of a sum of three oscillations
$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
  1. The left graphic shows such a spectrum for the example  $I = 3$. 
  2. If one chooses  $I$  relatively large and the distance between adjacent spectral lines correspondingly small,  then with this equation frequency–continuous spectral functions  $X_+(f)$  can also be approximated.


In the right graphic the corresponding time function is indicated.  This is in general:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

To note about this graphic:

  • The sketch shows the initial position of the pointers at start time  $t = 0$  corresponding to the amplitudes  $A_i$  and the phase positions  $\varphi_i$.
  • The tip of the resulting pointer compound is marked by the violet cross.  One obtains by vectorial addition of the three individual pointers for the time  $t = 0$:
$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
  • For times  $t > 0$  the three pointers rotate at different angular velocities  $\omega_i = 2\pi f_i$.  The red pointer rotates faster than the green one,  but slower than the blue one.
  • Since all pointers rotate counterclockwise, the resulting pointer  $x_+(t)$  will also tend to move in this direction. 
  • At time  $t = 1\,µ\text {s}$  the tip of the resulting pointer for the given parameter values is
$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
  • The resulting pointer tip does not lie on a circle like a single oscillation, but a complicated geometric figure is created.


The interactive applet  »Physical Signal and Analytical Signal«  illustrates  $x_+(t)$  for the sum of three harmonic oscillations.

Exercises for the chapter


Exercise 4.3: Vector Diagram Representation

Exercise 4.3Z: Hilbert Transformator

Exercise 4.4: Vector Diagram for DSB-AM

Exercise 4.4Z: Vector Diagram for SSB-AM