Aufgaben:Exercise 4.6Z: Basics of Product Codes

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Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Grundstruktur eines Produktcodes.
• Die beiden Komponentencodes werden auch in der Aufgabe 4.6 behandelt.

Fragebogen

1 Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ über den Code $\mathcal{C}_1$?

	Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$.
	Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch.
	$\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.

2 Welche Aussagen erlaubt die Generatormatrix $\mathbf{G}_2$ über den Code $\mathcal{C}_2$?

	Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$.
	Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch.
	$\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.

3 Geben Sie die Parameter des Produktcodes $\mathcal{C} = \mathcal{C}_1 &times \mathcal{C}_2$ an.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

• Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an: $k = 4$. Dagegen ist die Codewortlänge $n$ gleich der Anzahl der Spalten  ⇒  Coderate $R = k/n = 4/7$.
• Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix beginnt.
• Es handelt sich um einen „normalen” Hammingcode. Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits  ⇒  $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
• Im vorliegenden Fall handelt es sich um den Hammingcode (7, 4, 3). Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die freie Distanz an  ⇒  $d_{\rm min} = 3$.

(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4. Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form. Die Coderate beträgt $R = 1/2$.

(3)  Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der ersten Theorieseite dargestellt. Man erkennt

• den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12} \ \rm Bit$, und
• die Codewortlänge als die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
• Die Coderate ist somit $R = k/n = 12/42 = 2/7$. Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
• Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.