Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Non-Recursive Filter"
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:$$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$ | :$$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$ | ||
− | Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden: | + | Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden: |
− | *die | + | *die „Gleichfolge” |
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | ||
− | *die | + | *die „Sinusfolge” mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$: |
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$ | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch. |
− | *Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch [[Signaldarstellung]]. | + | *Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch [[Signaldarstellung]]. |
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− | {Wie lautet die Filter–Impulsantwort $h(t)$? Zu welchem Zeitpunkt $\nu \cdot T_{\rm A}$ hat | + | {Wie lautet die Filter–Impulsantwort $h(t)$? Zu welchem Zeitpunkt $\nu \cdot T_{\rm A}$ hat die Impulsantwort ihr Maximum? |
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$\nu \ = \ $ { 1 } | $\nu \ = \ $ { 1 } | ||
− | {Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Wie groß ist der Wert bei $f = 0$? | + | {Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Wie groß ist der Wert bei $f = 0$? |
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$H(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } | $H(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } | ||
− | {Welche Ausgangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {y_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ ergibt sich für die | + | {Welche Ausgangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {y_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ ergibt sich für die Gleichfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {g_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ an seinem Eingang? Interpretieren Sie dieses Ergebnis unter Berücksichtigung der letzten Teilaufgabe. <br>Welcher Ausgangswert ergibt sich für $\nu = 4 $? |
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$y_4 \ = \ $ { 4 3% } | $y_4 \ = \ $ { 4 3% } | ||
− | {Welche Ausgangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt sich für die | + | {Welche Ausgangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt sich für die Sinusfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ am Eingang? Welcher Ausgangswert ergibt sich für $\nu = 4 $? |
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$y_4 \ = \ $ { -2.06--1.94 } | $y_4 \ = \ $ { -2.06--1.94 } |
Revision as of 10:52, 9 December 2019
Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten
- $$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$
Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:
- die „Gleichfolge”
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- die „Sinusfolge” mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
- Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch Signaldarstellung.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$.
- Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort
- $$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$
- ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang
- $$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$
- Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:
- $$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$
- Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
(3) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$
- Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
- Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: :$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$.
Anderer Lösungsweg:
- Die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$.
- Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe '(2) den folgenden Wert:
- $$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$
- Lässt man den Einschwingungsvorgang (abgeschlossen bei $t = T_{\rm A}$) außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ (Phase: $90^\circ$) folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
- $$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$
- Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2.