Applets:PDF, CDF and Moments of Special Distributions

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Programmbeschreibung

WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt

• die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
• die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und   $f_{Y}(y)$   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDFs$,
• die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ aufgefasst werden kann.

• Aus der rechts dargestellten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) erkennt man, dass bei diesem Beispielsignal Momentanwerte um den Mittelwert $m_1$ am häufigsten auftreten.
• Da zwischen den Abtastwerten $x_ν$ keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als „Weißes Rauschen”.

Definition und Eigenschaften der dargestellten Beschreibungsgrößen

In diesem Applet betrachten wir ausschließlich (wert–)kontinuierliche Zufallsgrößen, also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind. Zumindest in gewissen Intervallen ... ??? Alle Beispiele Gauß

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  sind die Wahrscheinlichkeiten, dass  $X$  ganz bestimmte Werte  $x$  annimmt, identisch Null:  ${\rm Pr}(X= x) \equiv 0$.  Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  – abgekürzt  $\rm WDF$  – übergegangen werden.

$\text{Definition:}$  Der Wert der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  an der Stelle  $x$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße  $X$  in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite  $Δx$  um  $x$  liegt, dividiert durch  $Δx$:

$$f_X(x) = \lim_{ {\rm \Delta} x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} \frac{ {\rm Pr} \big [x - {\rm \Delta} x/2 \le X \le x +{\rm \Delta} x/2 \big ] }{ {\rm \Delta} x}.$$

Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist  Probability Density Function  (PDF).

Die WDF weist folgende Eigenschaften auf:

• Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:

$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = \int_{x_{\rm u}}^{x_{\rm o}} f_{X}(x) \ {\rm d}x.$$

• Als wichtige Normierungseigenschaft ergibt sich daraus für die Fläche unter der WDF mit den Grenzübergängen  $x_{\rm u} → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞$  und  $x_{\rm o} → +∞$:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) \ {\rm d}x = 1.$$

Verteilungsfunktion (VTF)

Die  Verteilungsfunktion  – abgekürzt  $\rm VTF$  – liefert die gleiche Information über die Zufallsgröße  $X$  wie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

$\text{Definition:}$  Die  Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert  $x$  ist:

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}( X \le x).$$

Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist  Cumulative Distribution Function  (CDF).

Die VTF weist folgende Eigenschaften auf:

• Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  durch Integration berechenbar. Es gilt:

$$F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,{\rm d}\xi.$$

• Da die WDF nie negativ ist, steigt  $F_{X}(x)$  zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten

$$F_{X}(x → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(x → +∞) = 1.$$

• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:

$$f_{X}(x)=\frac{{\rm d} F_{X}(\xi)}{{\rm d}\xi}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}x=\xi}.$$

• Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:

$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = F_{X}(x_{\rm o}) - F_{X}(x_{\rm u}).$$

Erwartungswerte und Momente

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere Informationen liefern die so genannten  Erwartungswerte  und  Momente.

$\text{Definition:}$  Der  Erwartungswert  bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion  $g(x)$  kann mit der WDF  $f_{\rm X}(x)$  in folgender Weise berechnet werden:

$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$

Setzt man in diese Gleichung für  $g(X) = x^k$  ein, so erhält man das  Moment $k$-ter Ordnung:

$$m_k = {\rm E}\big[X^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$

Aus dieser Gleichung erhält man

• mit  $k = 1$  für den  linearen Mittelwert:

$$m_1 = {\rm E}\big[X \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{X} (x ) \,{\rm d}x,$$

• mit  $k = 2$  für den  quadratischen Mittelwert:

$$m_2 = {\rm E}\big[X^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ X} (x) \,{\rm d}x.$$

In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:

• $m_1$  gibt den  Gleichanteil  an,
• $m_2$  entspricht der  (auf den Einheitswiderstand  $1 \ Ω$  bezogenen) Signalleistung.

Bezeichnet  $X$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_1$  die Einheit  ${\rm V}$  und  $m_2$  die Einheit  ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$ angeben, so muss  $m_2$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.

Zentralmomente

Besondere Bedeutung haben in der Statistik allgemein die so genannten  Zentralmomente, von denen viele Kenngrößen abgeleitet werden,

$\text{Definition:}$  Die  Zentralmomente  sind im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert  $m_1$  bezogen. Für diese gilt mit  $k = 1, \ 2,$ ...:

$$\mu_k = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$

• Bei mittelwertfreien Zufallsgrößen stimmen die zentrierten Momente  $\mu_k$  mit den nichtzentrierten Momente  $m_k$  überein.

• Das Zentralmoment erster Ordnung ist definitionsgemäß gleich  $\mu_1 = 0$.

• Die nichtzentrierten Momente  $m_k$  und die Zentralmomente  $\mu_k$  können direkt ineinander umgerechnet werden.  Mit  $m_0 = 1$  und  $\mu_0 = 1$  gilt dabei:

$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa},$$

$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$

Einige häufig benutzte Zentralmomente

Aus der letzten Definition können folgende statistische Kenngrößen abgeleitet werden:

$\text{Definition:}$  Die  Varianz  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  ist das Zentralmoment zweiter Ordnung:

$$\mu_2 = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^2\big] = \sigma_X^2.$$

• Die Varianz  $σ_X^2$  entspricht physikalisch der „Wechselleistung” und die  Streung  $σ_X$  (oder auch  Standardabweichung) gibt den „Effektivwert” an.
• Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem  Satz von Steiner  in folgender Weise berechenbar:  $\sigma_X^{2} = {\rm E}\big[X^2 \big] - {\rm E}^2\big[X \big].$

$\text{Definition:}$  Die  Charliersche Schiefe  $S_X$  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet das auf $σ_X^3$ bezogene dritte Zentralmoment.

• Bei symmetrischer Dichtefunktion ist die Kenngröße  $S_X$  sets Null.
• Je größer  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert  $m_X$.
• Beispielsweise ergibt sich für die Exponentialverteilung die Schiefe  $S_X =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter  $λ$.

$\text{Definition:}$  Als  Kurtosis  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet man den Quotienten  $K_X = \mu_4/σ_X^4$    $(\mu_4:$  Zentralmoment vierter Ordnung$)$.

• Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße ergibt sich hierfür immer der Wert  $K_X = 3$.
• Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist.

Zusammenstellung einiger wertkontinuierlicher Zufallsgrößen

Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen:  Gaußverteilung, Gleichverteilung, ...

Gaußverteilte Zufallsgrößen

Gaußverteilte Zufallsgröße:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$

WDF–Parameter: 

• $m_X$  (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
• $σ_X$  (Streuung bzw. Effektivwert).

(2)    Verteilungsfunktion   $($punktsymmetrisch um  $m_X)$

$$F_X(x)= \phi(\frac{\it x-m_X}{\sigma_X})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$

$ϕ(x)$:   Gaußsches Fehlerintegral (nicht analytisch berechenbar, muss aus Tabellen entnommen werden).

(3)    Zentralmomente

$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \ 3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.1cm}\it k\hspace{0.1cm}\rm gerade).$$

• Charliersche Schiefe  $S_X = 0$, da   $\mu_3 = 0$  $($WDF symmetrisch um  $m_X)$,
• Kurtosis  $K_X = 3$, da   $\mu_4 = 3 \cdot σ_X^4$  ⇒   $K_X = 3$  ergibt sich nur für die Gauß–WDF.

(4)    Weitere Bemerkungen

• Die Namensgebung geht dabei auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
• Ist  $m_X = 0$  und  $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der  Normalverteilung.

• Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden  (Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).
• Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen;  auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.
• Die Summe vieler kleiner und voneinander unabhängigen Komponenten   ⇒   Zentraler Grenzwertsatz der Statistik   ⇒   Grundlage für Rauschprozesse.
• Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.

Gleichverteilte Zufallsgrößen

Gaußverteilte Zufallsgröße:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$

WDF–Parameter: 

• $m_X$  (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
• $σ_X$  (Streuung bzw. Effektivwert).

Gaußverteiltes und gleichverteiltes Zufallssignal

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt im Vergleich

• links ein Gaußsches Zufallssignal $x_1(t)$ und
• rechts ein gleichverteiltes Signal $x_2(t)$ mit

gleichem Mittelwert $m_1$ und gleicher Streuung $σ$.

Man erkennt, dass bei der Gaußverteilung im Gegensatz zur Gleichverteilung

• beliebig große und beliebig kleine Amplitudenwerte auftreten können,
• auch wenn diese unwahrscheinlich sind im Vergleich zum mittleren Amplitudenbereich.

Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion

$\text{Definition:}$  Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer gaußverteilten Zufallsgröße lautet allgemein:

WDF und VTF einer gaußverteilten Zufallsgröße

$$\hspace{0.4cm}f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\cdot {\rm e}^{-(x-m_1)^2 /(2\sigma^2) }.$$ Die Parameter einer solchen Gaußschen WDF sind

• $m_1$ (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
• $σ$ (Streuung bzw. Effektivwert).

Ist $m_1 = 0$ und $σ = 1$, so spricht man oft auch von der Normalverteilung.

Aus der linken Darstellung der oberen Grafik geht hervor, dass die Streuung $σ$ als der Abstand von Maximalwert und Wendepunkt aus der glockenförmigen WDF $f_{x}(x)$ auch grafisch ermittelt werden kann.

Rechts ist die Verteilungsfunktion $F_{x}(r)$ der gaußverteilten Zufallsgröße dargestellt. Man erkennt:

• Die VTF ist punktsymmetrisch um den Mittelwert $m_1$.
• Durch Integration über die Gaußsche WDF erhält man:

$$F_x(r)= \phi(\frac{\it r-m_{\rm 1}}{\sigma})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$

Man bezeichnet $ϕ(x)$ als das Gaußsche Fehlerintegral.

• Dessen Funktionsverlauf ist analytisch nicht berechenbar und muss deshalb aus Tabellen entnommen werden.
• $ϕ(x)$ lässt sich durch eine Taylorreihe annähern oder aus der in Programmbibliotheken oft vorhandenen Funktion ${\rm erfc}(x)$ berechnen.

Weitere Informationen zu den gaußverteilten Zufallsgrößen liefert das Lernvideo Der AWGN–Kanal, insbesondere im zweiten Teil.

Überschreitungswahrscheinlichkeit

Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße $x$ mit der Varianz $σ^2$ einen vorgegebenen Wert $x_0$ überschreitet.

$\text{Definition:}$  Für diese Überschreitungswahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr}(x > x_{\rm 0})={\rm Q}({x_{\rm 0} }/{\sigma}).$$

Hierbei bezeichnet ${\rm Q}(x) = 1 − {\rm ϕ}(x)$ die Komplementärfunktion zu $ {\rm ϕ}(x)$. Man nennt diese Funktion das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral und es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

Komplementäres Gaußsches Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$

$$\rm Q (\it x\rm ) = \rm 1- \phi (\it x)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rm Q (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} }\int_{\it x}^{\rm +\infty}\hspace{-0.4cm}\rm e^{\it - u^{\rm 2}/\hspace{0.05cm} \rm 2}\,d \it u .$$

${\rm Q}(x)$ ist wie ${\rm \phi}(x)$ nicht analytisch lösbar und muss aus Tabellen entnommen werden.

In Bibliotheken findet man oft die Funktion ${\rm erfc}(x)$, die mit ${\rm Q}(x)$ wie folgt zusammenhängt:

$${\rm Q}(x)={\rm 1}/\hspace{0.05cm}{\rm 2}\cdot \rm erfc({\it x}/{\sqrt{\rm 2} }).$$

Speziell für größere $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken brauchbare Abschätzungen für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral:

• Obere Schranke:

$${\rm Q_o}(x ) \ge {\rm Q}(x)=\frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2}. $$

• Untere Schranke:

$${\rm Q_u}(x )\le {\rm Q}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot \it x}\cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\hspace{0.05cm}\rm 2} =\rm Q_0(\it x \rm ) \cdot \left(\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}\right) .$$

$\text{Fazit:}$  Das Grafik zeigt die Q-Funktion in logarithmischer Darstellung für lineare (obere Achse) und logarithmische Abszissenwerte (untere Achse).

• Die obere Schranke (rote Kreise) ist ab ca. $x = 1$ brauchbar, die untere Schranke (grüne Rauten) ab $x ≈ 2$.
• Für $x ≥ 4$ sind beide Schranken innerhalb der Zeichengenauigkeit vom tatsächlichen Verlauf ${\rm Q}(x)$ nicht mehr zu unterscheiden.

Das interaktive Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen liefert die Zahlenwerte der Funktionen ${\rm Q}(x)$ und $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$ inklusive der hier angegebenen Schranken.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  sind die Wahrscheinlichkeiten, dass diese ganz bestimmte Werte annimmt, identisch Null. Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion – abgekürzt WDF – übergegangen werden.

Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist Probability Density Function (PDF). }} Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

$\text{Definition:}$  Die  Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  Probability Density Function, kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:

$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

• Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
• $∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
• $X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
• Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im Theorieteil.

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$

$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$

• liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
• nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   Korrelation  verwendet man

• die  Kovarianz  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:

$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$

• den  Korrelationskoeffizienten  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 

• Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
• Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
• Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
• Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
• Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen

rechts

Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$

Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:

• Kreise  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
• Ellipsen  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.

Korrelationsgerade

Als  Korrelationsgerade  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:

Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und
Korrelationsgerade  $y = K(x)$

• Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:

$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

• Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

• Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:

$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  Aufgabe 4.4  im Buch „Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  (5).

Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen

Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$

Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

• Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
• Die  Korrelationsgerade  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:

• Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
• Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:

$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$

• Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
• $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF

$\text{Definition:}$  Die  2D-Verteilungsfunktion  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  eindimensionalen Verteilungsfunktion  (VTF):

$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der „1D-VTF” und der„ 2D-VTF”:

• Der Funktionalzusammenhang zwischen „2D–WDF” und „2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:

$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$

• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$

• Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:

$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm} F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$

• Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die „2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  Normierungsbedingung  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

• Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
• Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
• Für die „1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.

•  $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
•  $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

(2)  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
•  Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

(3)  Es gelten weiter die Einstellungen von (2). Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
•  Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in (2), da weiter integriert wird.

(4)  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in (3).

(5)  Stimmt die Aussage: „Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.

•  Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

(6)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?

•  Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

(7)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?

•  Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

(8)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?

•  Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
•  Bei allen Einstellungen gilt:  Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse.

(9)  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?

•  Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

(10)  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?

•  Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
•  Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
•  Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine Diracwand  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    (B)     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    (C)     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    (D)     Höhenlinien darstellen anstelle von „1D-WDF”

    (E)     Darstellungsbereich für „2D-WDF”

    (F)     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    (G)     Darstellungsbereich für „1D-WDF” bzw. „Höhenlinien”

    (H)     Manipulation der 2D-Grafik („1D-WDF”)

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung







Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab