Aufgaben:Exercise 1.4Z: Representation of Oscillations

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Zwei Darstellungen einer harmonischen Schwingung

Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.  Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:

$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$

$$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$

Die zwei Amplitudenparameter  $A_{\rm T} $  und  $A_0$  sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert  $ϕ_{\rm T} $  soll zwischen  $\text{±π}$  liegen und die Laufzeit  $τ$  ist nicht negativ.

Die Teilaufgabe  (4)  bezieht sich auf das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$, das mit  $z_+(t)$  wie folgt zusammenhängt:

$$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

Beachten Sie weiter, dass  $ϕ_{\rm T}$  in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint.  Unter „Anmerkungen zur Nomenklatur” finden Sie unten eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von  $φ_{\rm T}$  und  $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.

Anmerkung zur Nomenklatur:

• In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
• Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$.  Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.
• Die Phasenwerte  $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:

$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$

Weitere Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Allgemeines Modell der Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.
• Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:

(1)   Harmonische Schwingung,

(2)  Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion  und

(3)  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.

• In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets

(1)  Physikalisches Signal & Analytisches Signal ,

(2)  Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalparameter  $A_{\rm T}$,  $f_{\rm T}$  und  $ω_{\rm T}$.

$A_{\rm T} \ = \ $

$f_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{Hz}$

$\omega_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{1/s}$

2

Bestimmen Sie die Phase  $\phi_{\rm T}$  $($zwischen $±180^\circ)$ und die Laufzeit  $τ$.

$\phi_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{Grad}$

$τ \ = \ $ $\ \text{ms}$

3

Zu welcher Zeit  $t_1 > 0$  ist das analytische Signal  $z_+(t)$  erstmalig imaginär?

$t_1 \ = \ $ $\ \text{ms}$

4

Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$?  Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei  $t = 1 \text{ ms}$ ein.

${\rm Re}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $

5

Welche der Aussagen gelten für alle harmonischen Schwingungen?

	Das Spektrum  $Z(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$.
	Das Spektrum  $Z_+(f)$  weist eine Diracfunktion bei  $–f_{\rm T}$ auf.
	Das Spektrum  $Z_{\rm TP}(f)$  beinhaltet eine Diracfunktion bei  $f = 0$.
	Das analytische Signal  $z_+(t)$  ist stets komplex.
	Das äquivalente TP–Signal  $z_{\rm TP}(t)$  ist stets komplex.

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der grafischen Darstellung der Zeitfunktion  $z(t)$  erkennt man

• die (normierte) Amplitude  $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$  und die Periodendauer  $T_0=2$  Millisekunden.
• Deshalb ist die Signalfrequenz  $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$  Hz und die Kreisfrequenz beträgt  $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$  1/s.

(2)  Das analytische Signal lautet allgemein:

$$z_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t + \phi_{\rm T})} = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t }\hspace{0.05cm}.$$

• Gleichzeitig gilt der Zusammenhang:

$$A_0 = z_+(t = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \hspace{0.05cm}.$$

• Die komplexe Amplitude  $A_0$  kann aus der oberen Grafik abgelesen werden.

$$A_0 = - \sqrt{2} - {\rm j} \cdot \sqrt{2} = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 0.75 \pi} \hspace{0.05cm}.$$

• Ein Vergleich beider Gleichungen führt zum Ergebnis:

$$ \phi_{\rm T} = - 0.75 \pi \hspace{0.15cm}\underline {= - 135^{\circ}} \hspace{0.05cm}.$$

• Dabei besteht folgender Zusammenhang mit der Laufzeit  $τ$:

$$\phi_{\rm T} = - 2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot \tau \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau = \frac{-\phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_{\rm T}} = \frac{0.75 \pi}{2 \pi \cdot 0.5\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75 \,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Das analytische Signal legt in der Zeit  $T_0$  genau eine Umdrehung zurück.

• Ausgehend von  $A_0$  erreicht man somit nach  $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$  ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist:

$$z_+(t_1) = - 2 {\rm j}.$$

• Wegen der Beziehung  $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$  tritt zu diesem Zeitpunkt  $t_1$  auch der erste Nulldurchgang des Signals  $z(t)$  auf.

(4)  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  erhält man:

$$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$

• Somit gilt für alle Zeiten  $t$  und damit auch für  $t = 1$ ms:

$${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Aussagen 1, 3 und 4:

• Die einzige Diracfunktion von  $Z_+(f)$  liegt bei  $f = f_{\rm T}$  und nicht bei  $–f_{\rm T}$.
• Das analytische Signal einer harmonischen Schwingung ist immer komplex.
• Das äquivalente TP–Signal einer harmonischen Schwingung ist meistens komplex.  Ausnahme:

$$z(t) = ±A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t) \ \Rightarrow \ z_{\rm TP}(t) = ±A_{\rm T}.$$