Signal Representation/Signal classification

1. Signal Representation
2. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik
3. Signal classification

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Deterministic and stochastic signals

In every communication system both deterministic and stochastic signals occur.

$\text{Definition:}$  A  deterministic signal  exists, if its time functions  $x(t)$  can be described completely in analytical form.

Since the time function $x(t)$  for all times  $t$ is known and can be specified unambiguously, a spectral function $X(f)$  which can be calculated using the  Fourier series  or  Fourier transform .

$\text{Definition:}$  One refers to a  'stochastic signal   or to a  random signal, if the signal course  $x(t)$  is not - or at least not completely – describable in mathematical form. Such a signal cannot be predicted exactly for the future.

Example of a deterministic signal (top) and
a stochastic signal (bottom)

$\text{Example 1:}$  The graph shows time histories of a deterministic and a stochastic signal:

• At the top a periodic square wave signal  $x_1(t)$  with period duration  $T_0$   ⇒   deterministic signal,
• below a Gaussian noise signal  $x_2(t)$  with the mean value  $2\ \rm V $   ⇒   stochastic signal.

For such a non-deterministic signal  $x_2(t)$  no spectral function  $X_2(f)$  can be specified, since Fourier series/Fourier transform requires the exact knowledge of the time function for all times  $t$ 

Information-carrying signals are always of stochastic nature. Their description as well as the definition of suitable parameters is given in the book  Theory of Stochastic Signals.

However, the deterministic signals are also of great importance for communications engineering. Examples of this are:

• test signals for the design of communication systems,
• carrier signals for frequency multiplex systems, and
• a pulse for sampling an analog signal or for time regeneration of a digital signal.

Kausale und akausale Signale

In der Nachrichtentechnik rechnet man oftmals mit zeitlich unbegrenzten Signalen; der Definitionsbereich des Signals erstreckt sich dann von  $t = -\infty$  bis  $t=+\infty$.

In der Realität gibt es allerdings solche Signale nicht, denn jedes Signal musste irgendwann einmal eingeschaltet werden. Wählt man – zwar willkürlich, aber dennoch sinnvoll – den Einschaltzeitpunkt  $t = 0$, so kommt man zu folgender Klassifizierung:

$\text{Definition:}$  Man bezeichnet ein Signal $x(t)$ als  kausal, wenn es für alle Zeiten  $t < 0$  nicht existiert bzw. identisch Null ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so liegt ein  akausales  Signal (oder System) vor.

In vorliegenden Buch „Signaldarstellung” werden meist akausale Signale und Systeme betrachtet. Dies hat folgende Gründe:

• Akausale Signale (und Systeme) sind mathematisch leichter zu handhaben als kausale. Beispielsweise kann man hier die Spektralfunktion mittels Fouriertansformation bestimmen und man benötigt nicht wie bei der Laplacetransformation weitreichende Kenntnisse der Funktionentheorie.
• Akausale Signale und Systeme beschreiben den Sachverhalt vollständig und richtig, wenn man die Problematik des Einschaltvorgangs außer Acht lässt und sich somit nur für den  eingeschwungenen Zustand  interessiert.

Die Beschreibung kausaler Signale und Systeme mit Hilfe der  Laplacetransformation  folgt im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme.

Kausales und akausales System

$\text{Beispiel 2:}$  Sie sehen in der oberen Grafik ein kausales Übertragungssystem:

• Wird an dessen Eingang eine Sprungfunktion  $x(t)$  angelegt, so kann auch das Ausgangssignal  $y(t)$  erst ab dem Zeitpunkt  $t = 0$  von Null auf seinen Maximalwert ansteigen.
• Ansonsten wäre der Kausalzusammenhang, dass die Wirkung nicht vor der Ursache einsetzen kann, nicht erfüllt.

Im unteren Bild ist diese Kausalität nicht mehr gegeben. Wie leicht zu ersehen ist, kommt man bei diesem Beispiel schon durch eine zusätzliche Laufzeit von einer Millisekunde von der akausalen zur kausalen Darstellung.

Energiebegrenzte und leistungsbegrenzte Signale

An dieser Stelle müssen zunächst zwei wichtige Signalbeschreibungsgrößen eingeführt werden, nämlich die  Energie  und die  Leistung.

• Im Sinne der Physik entspricht die Energie der Arbeit und hat zum Beispiel die Einheit „Ws“.
• Die Leistung ist als „Arbeit pro Zeit” definiert und besitzt somit die Einheit „W“.

Beide Größen sind nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik vom Widerstand  $R$  abhängig. Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, wird in der Nachrichtentechnik oftmals der Widerstand  $R=1 \,\Omega$  zugrunde gelegt. Dann gelten folgende Definitionen:

$\text{Definition:}$  Die  Energie  des Signals  $x(t)$  ist wie folgt zu berechnen:

$$E_x=\lim_{T_{\rm M}\to\infty} \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} x^2(t)\,{\rm d}t.$$

$\text{Definition:}$ Zur Berechnung der (mittleren)  Leistung  muss vor dem Grenzübergang noch durch die Zeit  $T_{\rm M}$  dividiert werden:

$$P_x = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} x^2(t)\,{\rm d}t.$$

Hierbei bezeichnet  $T_{\rm M}$  die symmetrisch bezüglich des Zeitursprungs  $(t = 0)$  angenommene Messdauer, während der das Signal beobachtet wird. Dieses Zeitintervall muss im Allgemeinen sehr groß gewählt werden;  im Idealfall sollte  $T_{\rm M}$  gegen unendlich gehen.

Bezeichnet  $x(t)$  einen Spannungsverlauf mit der Einheit  $\text{V}$, so hat nach obigen Gleichungen

• die Signalenergie die Einheit  $\text{V}^2\text{s}$,
• die Signalleistung die Einheit  $\text{V}^2$.

Diese Aussage bedeutet auch:   Bei den obigen Definitionen liegt bereits der Bezugswiderstand  $R=1\,\Omega$  implizit zugrunde.

Energiebegrenztes und leistungsbegrenztes Signal

$\text{Beispiel 3:}$  Nun werden Energie und Leistung zweier beispielhafter Signale berechnet.

Die obere Grafik zeigt einen Rechteckimpuls  $x_1(t)$  mit Amplitude  $A$  und Dauer  $T$.

• Die Signalenergie dieses Impulses ist  $E_1 = A^2 \cdot T$.
• Für die Signalleistung ergibt sich aufgrund der Division durch  $T_{\rm M}$  und Grenzwertbildung  $(T_{\rm M} \to \infty)$  der Wert  $P_1 = 0$.

Beim Cosinussignal  $x_2(t)$  mit der Amplitude  $A$  entsprechend der unteren Skizze gilt:

• Die Signalleistung ist unabhängig von der Frequenz gleich  $P_2 = A^2/2$.
• Die Signalenergie  $E_2$  (Integral über die Leistung für alle Zeiten) ist unendlich.

Mit  $A = 4 \ {\rm V}$  ergibt sich für die Leistung  $P_2 = 8 \ {\rm V}^2$. Mit dem Widerstand von  $R = 50 \,\,\Omega$  entspricht dies der physikalischen Leistung  ${8}/{50} \,\,{\rm V}\hspace{-0.1cm}/{\Omega}= 160\,\, {\rm mW}$.

Entsprechend diesem Beispiel gibt es die folgenden Klassifizierungsmerkmale:

$\text{Definition:}$  Ein Signal  $x(t)$  mit endlicher Energie  $E_x$  und unendlich kleiner Leistung  $(P_x = 0)$  bezeichnet man als  energiebegrenzt.

• Impulsförmige Signale wie das Signal  $x_1(t)$  im obigen Beispiel sind stets energiebegrenzt. Meist sind hier die Signalwerte nur für eine endliche Zeitdauer von Null verschieden. In anderen Worten:  Solche Signale sind oft auch zeitbegrenzt.
• Aber auch zeitlich unbegrenzte Signale können durchaus eine endliche Energie besitzen. In späteren  Kapiteln  finden Sie weitere Informationen zu energiebegrenzten und damit aperiodischen Signalen, zu denen beispielsweise der  Gaußimpuls  und der  Exponentialimpuls  gehören.

$\text{Definition:}$  Ein Signal  $x(t)$  mit endlicher Leistung  $P_x$  und dementsprechend unendlich großer Energie  $(E_x \to \infty)$  bezeichnet man als  leistungsbegrenzt.

• Alle leistungsbegrenzten Signale sind auch zeitlich unendlich weit ausgedehnt.
• Beispiele hierfür sind das  Gleichsignal  und  Harmonische Schwingungen  wie das Cosinussignal  $x_2(t)$  im  $\text{Beispiel 3}$, die im Kapitel  Periodische Signale ausführlich beschrieben werden.
• Auch die meisten stochastischen Signale sind leistungsbegrenzt – siehe Buch  Stochastische Signaltheorie.

Wertkontinuierliche und wertdiskrete Signale

$\text{Definition:}$  Ein Signal bezeichnet man als  wertkontinuierlich, wenn der entscheidende Signalparameter – zum Beispiel der Augenblickswert – alle Werte eines Kontinuums  (beispielsweise eines Intervalls)  annehmen kann. Sind für den Signalparameter dagegen nur abzählbar viele verschiedene Werte möglich, so ist das Signal  wertdiskret. Die Anzahl der möglichen Werte bezeichnet man als die  Stufenzahl  $M$ oder als den Werteumfang.

• Bei den analogen Übertragungssystemen wird stets mit wertkontinuierlichen Signalen gearbeitet.
• Bei Digitalsystemen sind dagegen die meisten Signale – aber nicht alle – wertdiskret.

Wertkontinuierliches und wertdiskretes Signal

$\text{Beispiel 4:}$  Das obere Bild zeigt in blau einen Ausschnitt eines wertkontinuierlichen Signals  $x(t)$, das Werte zwischen  $\pm 8\ \rm V$  annehmen kann.

• In roter Farbe erkennt man das auf  $M = 8$  Quantisierungsstufen diskretisierte Signal  $x_{\rm Q}(t)$  mit den möglichen Signalwerten  $\pm 1\ \rm V$,  $\pm 3\ \rm V$,  $\pm 5\ \rm V$  und  $\pm 7\ \rm V$.
• Bei diesem Signal  $x_{\rm Q}(t)$  wurde der Augenblickswert als der entscheidende Signalparameter betrachtet.

FSK-Signal - wertkontuierlich und trotzdem binär

Bei einem FSK-System  (Frequency Shift Keying)  ist dagegen die Augenblicksfrequenz der wesentliche Signalparameter.

Deshalb bezeichnet man auch das unten dargestellte Signal  $s_{\rm FSK}(t)$  als wertdiskret mit der Stufenzahl  $M = 2$  und den möglichen Frequenzen  $1 \ \rm kHz$  und  $5 \ \rm kHz$, obwohl der Augenblickswert wertkontinuierlich ist.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale

Bei den bisher betrachteten Signalen war der Signalparameter zu jedem beliebigen Zeitpunkt definiert. Man spricht dann von einem  zeitkontinuierlichen Signal.

$\text{Definition:}$  Bei einem  zeitdiskreten Signal  ist im Gegensatz dazu der Signalparameter nur zu den diskreten Zeitpunkten  $t_\nu$  definiert, wobei man diese Zeitpunkte meist äquidistant wählt:   $t_\nu = \nu \cdot T_{\rm A}$.

Da ein solches Signal beispielsweise durch Abtastung eines zeitkontinuierlichen Signals entsteht, bezeichnen wir  $T_{\rm A}$  als den  Abtastzeitabstand  und dessen Kehrwert  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  als die  Abtastfrequenz.

Weiter gilt:

• Ein zeitdiskretes Signal  $x(t)$  ist durch die  zeitliche Folge  $\left \langle x_\nu \right \rangle$  seiner Abtastwerte  vollständig bestimmt.
• Diese Abtastwerte können dabei sowohl wertkontinuierlich als auch wertdiskret sein.
• Die mathematische Beschreibung zeitdiskreter Signale erfolgt im Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung.

Zeitkontinuierliches und zeitdiskretes Signal

$\text{Beispiel 5:}$  Das zeitdiskrete Signal  $x_{\rm A}(t)$  erhält man nach Abtastung des oben dargestellten zeit- und wertkontinuierlichen Nachrichtensignals  $x(t)$  im Abstand  $T_{\rm A}$.

• Der unten skizzierte Zeitverlauf  $x_{\rm R}(t)$  unterscheidet sich von der echten zeitdiskreten Darstellung  $x_{\rm A}(t)$  dadurch, dass die unendlich schmalen Abtastwerte  (mathematisch mit Diracimpulsen beschreibbar)  durch Rechteckimpulse der Dauer  $T_{\rm A}$  ersetzt sind.

• Ein solches Signal kann nach obiger Definition ebenfalls als zeitdiskret bezeichnet werden.

Analogsignale und Digitalsignale

Analog- und Digitalsignale

$\text{Beispiel 6:}$  In der Grafik sind an einem Beispiel die folgenden Signaleigenschaften verdeutlicht:

• „wertkontinuierlich” und „wertdiskret”, sowie
• „zeitkontinuierlich” und „zeitdiskret”.

Daneben gelten noch folgende Festlegungen:

$\text{Definition:}$  Ist ein Signal sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, so spricht man auch von einem  Analogsignal. Solche Signale bilden einen kontinuierlichen Vorgang kontinuierlich ab. Beispiele hierfür sind Sprach–, Musik–, Bild– und Mess Signale.

$\text{Definition:}$  Ein  Digitalsignal  ist dagegen stets wert– und zeitdiskret und die darin enthaltene Nachricht besteht aus den Symbolen eines Symbolvorrats. Es kann beispielsweise ein abgetastetes und quantisiertes (sowie in irgendeiner Form codiertes) Sprach–, Musik– oder Bildsignal sein, aber auch ein Datensignal, wenn im Internet eine Datei von einem Server heruntergeladen wird.

Je nach Stufenzahl sind Digitalsignale auch noch unter anderen Namen bekannt, beispielsweise

• mit $M = 2$:   binäres Digitalsignal oder  Binärsignal,
• mit $M = 3$:   ternäres Digitalsignal oder  Ternärsignal,
• mit $M = 4$:   quaternäres Digitalsignal oder  Quaternärsignal.

Das Lernvideo  Analoge und digitale Signale  fasst die in diesem Kapitel behandelten Klassifizierungsmerkmale in kompakter Weise zusammen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung

Aufgabe 1.2Z: Pulscodemodulation