Aufgaben:Exercise 5.4Z: On the Hanning Window

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Charakterisierung des Hanning-Fensters

In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von  $-T_{\rm P}/2$  bis  $+T_{\rm P}/2$  lautet hier wie folgt:

$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})= 0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) \big ) \hspace{0.05cm}.$$

Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer  $T_{\rm P}$  ist $w (t) \equiv 0$.

Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung  $w(\nu) = w({\nu} \cdot T_{\rm A})$, wobei  $T_{\rm A}$  um den Faktor  $N = 32$  kleiner ist als  $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen  $ν$  reicht von  $-16$  bis  $+15$.

In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte  $W(f)$  der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$  logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$  normiert ist. Man erkennt:

• Die äquidistanten Werte  $W({\mu} \cdot f_{\rm A})$  sind Null mit Ausnahme von  $μ = 0$  und  $μ = ±1$.
• Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
• $W(f)$  ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für  $f = ±2.5 · f_{\rm A}$  am größten.
• Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:

$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spektralanalyse.
• Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.

Fragebogen

1

Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten  $w(ν)$  des Hanning–Fensters analytisch an.
Welche Zahlenwerte ergeben sich für  $ν = 0$,  $ν = 1$  und  $ν = -\hspace{0.05cm}8$?

$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = 1) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = -8) \hspace{0.03cm} = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $W(f)$  allgemein. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??

	$W(f)$  liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
	$W(f)$  ist bezüglich  $f$  gerade, das heißt, es gilt stets  $W(-f) = W(+f)$.
	Der Spektralwert  $W(f = 0)$  ist gleich  $0.5/f_{\rm A}$  und somit reell.

3

Wie groß sind  $W(f = ±f_{\rm A})$  und die auf  $f_{\rm A}$  normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?

$W(±f_{\rm A}) \hspace{0.15cm} = \ $ $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$

$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \ $

4

Wie groß ist der minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.

$A_{\rm H/S} \ = \ $ $\ \rm dB$

Musterlösung

Solution

(1)  Nach trigonometrischer Umformung ergibt sich für die zeitkontinuierliche Fensterfunktion:

$$w(t) = {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$

• Nach Zeitdiskretisierung mit  $ν = t/T_{\rm A}$  und  $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$  erhält man für das zeitdiskrete Fenster:

$$w(\nu) = w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}w(\nu = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1},$$

$$w(\nu = 1) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{\pi}{16})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.99}, $$

$$w(\nu = -8)=0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Die periodische Fortsetzung von  $w(t)$  entsprechend der Periodendauer  $T_{\rm P}$  liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.
• Daraus folgt mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:

$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$

• Das zeitbegrenzte Signal  $w(t)$  ergibt sich aus  ${\rm P}\{w(t)\}$  durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude  $1$  und der Dauer  $T_{\rm P}$.
• Dessen Spektrum  $W(f)$  erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion  $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:

$$w(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, W(f) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}( \frac{\pi f}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$

• Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen  $f$  auch reell. Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ergibt die Fensterfläche:

$$W(f=0) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}= \int_{-\infty}^{+\infty}w(t)\hspace{0.05cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  folgt auch:

$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$

• Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich  $|f| < f_{\rm A}$  ist die Betragsfunktion  $|W(f)|$  genau bei  $± f_{\rm A}$  zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
• Damit gilt  $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.

(4)  Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei  $f = ±2.5 f_{\rm A}$  auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  gilt:

$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi ) +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )= \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:

$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{0.5}{0.0121}\hspace{0.15 cm}\underline{\approx 32.3\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$