Aufgaben:Exercise 3.3: Entropy of Ternary Quantities

• Return to book

Given entropy functions

On the right you see the entropy functions  $H_{\rm R}(p)$,  $H_{\rm B}(p)$  and  $H_{\rm G}(p)$, where  $\rm R$  stands for "red",  $\rm B$  for "blue" and  $\rm G$  for "green".  The probability functions are for all random variables:

$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm},\ p_2\hspace{0.05cm},\ p_3\hspace{0.05cm}]\hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} |X| = 3\hspace{0.05cm}.$$

For the questionnaire, the relationship  $p_1 = p$  and  $p_2 = 1 - p_3- p$.

The probability function of a random variable

$$X = \big \{\hspace{0.05cm}x_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} \text{...}\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} x_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} x_{M}\hspace{0.05cm}\big \}$$

with the symbolic range  $|X| = M$  is generally:

$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} p_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} p_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} p_{M}\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$

The entropy (uncertainty) of this random variable is calculated according to the equation

$$H(X) = {\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ]\hspace{0.05cm},$$

and always lies in the range  $0 \le H(X) \le \log_2 \hspace{0.05cm} |X|$.

• The lower bound  $H(X) = 0$  results when any probability  $p_\mu = 1$  and all others are zero.

• The upper bound is to be derived here as in the lecture "Information Theory" by  Gerhard Kramer  at the TU Munich:

Upper bound estimate for the natural logarithm

• By extending the above equation by  $|X|$  in the numerator and denominator, using  $\log_2 \hspace{0.05cm}x= \ln(x)/\ln(2)$, we obtain:

$$H(X) = \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [{\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$

• As can be seen from the graph opposite, the estimation  $\ln(x) \le x-1$  holds with the identity for  $x=1$.  Thus, it can be written:

$$H(X) \le \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [\frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} -1 \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$

• In   exercise 3.2  the expected value  ${\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ] =|X|$  was calculated for the case  $p_\mu \ne 0$  for all  $\mu$ .  Thus, the first term disappears and the known result is obtained:

$$H(X) \le {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$

Hints:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie.
• Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in der  Aufgabe 3.2.

• Die Gleichung der binären Entropiefunktion lautet:

$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die rote Entropiefunktion  $H_{\rm R}(p)$?

	$H_{\rm R}(p)$  ergibt sich zum Beispiel mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 1- p$  und  $p_3 = 0$.
	$H_{\rm R}(p)$  ist identisch mit der binären Entropiefunktion  $H_{\rm bin}(p)$.

2

Welche Eigenschaften weist die binäre Entropiefunktion  $H_{\rm bin}(p)$  auf?

	$H_{\rm bin}(p)$  ist konkav hinsichtlich des Parameters  $p$.
	Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm bin}(p)] = 2$  bit.

3

Welche Aussagen gelten für die blaue Entropiefunktion  $H_{\rm B}(p)$?

	$H_{\rm B}(p)$  ergibt sich beispielsweise mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 1/2- p$  und  $p_3 = 1/2$.
	Es gilt  $H_{\rm B}(p = 0)= 1$  bit.
	Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm B}(p)] = \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$  bit.

4

Welche Aussagen gelten für die grüne Entropiefunktion  $H_{\rm G}(p)$?

	$H_{\rm G}(p)$  ergibt sich beispielsweise mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 2/3- p$  und  $p_3 = 1/3$.
	Es gilt  $H_{\rm G}(p = 0)= 1$  bit.
	Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm G}(p)] = \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$ bit.

Musterlösung

Solution

(1)  Beide Aussagen sind richtig:

• Setzt man  $p_3 = 0$ und formal  $p_1 = p$   ⇒    $p_2 = 1- p$, so ergibt sich die binäre Entropiefunktion

$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:

• Man kann die binäre Entropiefunktion wegen  $\log(x) = \ln(x)/\ln(2)$  auch in die folgende Form bringen:

$$H_{\rm bin}(p) = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ p \cdot {\rm ln}(p) + (1-p) \cdot {\rm ln}(1-p) \big ] \hspace{0.05cm}.$$

• Die erste Ableitung führt zum Ergebnis

$$\frac {{\rm d}H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p} = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ {\rm ln}(p) + p \cdot \frac{1}{p} - {\rm ln}(1-p) - (1-p) \cdot \frac{1}{1-p} \big ] = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ {\rm ln}(1-p) - {\rm ln}(p) \big ] = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{p} \hspace{0.05cm}.$$

• Durch Nullsetzen dieser Ableitung erhält man den Abszissenwert  $p = 0.5$, der zum Maximum der Entropiefunktion führt:   $H_{\rm bin}(p =0.5) = 1$ bit
  ⇒   der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
• Durch nochmaliges Differenzieren erhält man für die zweite Ableitung:

$$\frac {{\rm d}^2H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p^2} = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left [ \frac{-1}{1-p} - \frac{1}{p} \right ] = \frac{-1}{{\rm ln}(2) \cdot p \cdot (1-p)} \hspace{0.05cm}.$$

• Diese Funktion ist im gesamten Definitionsgebiet  $0 ≤ p ≤ 1$  negativ   ⇒   $H_{\rm bin}(p)$ ist konkav   ⇒   der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.

Drei Entropiefunktionen mit  $M = 3$

(3)  Richtig sind hier die Aussagen 1 und 2:

• Für  $p = 0$  erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X) = \big [\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ]$   ⇒   $H(X) = 1$  bit.
• Das Maximum unter der Voraussetzung  $p_3 = 1/2$  ergibt sich für  $p_1 = p_2 = 1/4$:

$$P_X(X) = \big [\hspace{0.05cm}1/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/4\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Max} \ [H_{\rm B}(p)] = 1.5 \ \rm bit \hspace{0.05cm}.$$

• In kompakter Form lässt sich  $H_{\rm B}(p)$  mit der Einschränkung  $0 ≤ p ≤ 1/2$  wie folgt darstellen:

$$H_{\rm B}(p) = 1.0\,{\rm bit} + {1}/{2} \cdot H_{\rm bin}(2p) \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig sind hier die erste und letzte Aussage:

• Der grüne Kurvenzug beinhaltet mit  $p = 1/3$  auch die Gleichverteilung aller Wahrscheinlichkeiten

$$ {\rm Max} \ [H_{\rm G}(p)] = \log_2 (3)\ \text{bit}.$$

• Allgemein lässt sich der gesamte Kurvenverlauf im Bereich  $0 ≤ p ≤ 2/3$  wie folgt ausdrücken:

$$H_{\rm G}(p) = H_{\rm G}(p= 0) + {2}/{3} \cdot H_{\rm bin}(3p/2) \hspace{0.05cm}.$$

• Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man auch, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:

$$H_{\rm G}(p = 0) + {2}/{3}= {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm G}(p= 0) = 1.585 - 0.667 = 0.918 \,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$

• Der zweite Lösungsvorschlag ist somit falsch.  Zum gleichen Ergebnis gelangt man über die Gleichung

$$H_{\rm G}(p = 0) = {1}/{3} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) +{2}/{3} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3/2) = {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) -2/3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (2) \hspace{0.05cm}.$$