Modulation Methods/Double-Sideband Amplitude Modulation

1. Modulation Methods
2. Amplitude Modulation and Demodulation
3. Double-Sideband Amplitude Modulation

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# OVERVIEW OF SECOND MAIN CHAPTER #

After some general explanations of modulation and demodulation, a detailed description of   amplitude modulation  and their associated  demodulators. This chapter deals in detail with:

• the description and realization of double-sideband amplitude modulation (DSB–AM) in the frequency and time domains,
• the characteristics of a synchronous demodulator and the possible applications of an envelope demodulator,
• the similarities/differences of single-sideband modulation compared to DSB-AM and modified AM methods.

Description in the frequency domain

We consider the following problem: a message signal $q(t)$, whose spectrum  $Q(f)$  is bandlimited to the range  $\pm B_{\rm NF}$  (subscript NF from German "Niederfrequenz" ⇒ low frequency), is to be shifted to a higher frequency range where the channel frequency response $H_{\rm K}(f)$ has favorable characteristics, using a harmonic oscillation of frequency  $f_{\rm T}$, which we will refer to as the carrier signal $z(t)$ .

Representation of amplitude modulation in the frequency domain

The diagram illustrates the task, with the following simplifying assumptions:

• The spectrum  $Q(f)$  drawn here is schematic.  It states that only spectral components in the range  $|f| ≤ B_{\rm NF}$  are included in  $q(t)$ . $Q(f)$  could also be a line spectrum.
• Let the channel be ideal in a bandwidth range  $B_{\rm K}$  around frequency  $f_{\rm M}$ , that is, let  $H_{\rm K}(f) = 1$  for  $|f - f_{\rm M}| ≤ B_{\rm K}/2.$  Noise interference is ignored for now.
• Let the carrier signal be cosine   $($phase  $ϕ_T = 0)$  and have amplitude  $A_{\rm T} = 1$  (without a unit).  Let the carrier frequency  $f_{\rm T}$  be equal to the center frequency of the transmission band.
• Thus, the spectrum of the carrier signal  $z(t) = \cos(ω_{\rm T} · t)$  (plotted in green in the graph) is:

$$Z(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f + f_{\rm T})+{1}/{2} \cdot \delta (f - f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Those familiar with the  laws of spectral transformation  and in particular with the  Convolution Theorem  can immediately give a solution for the spectrum  $S(f)$  of the modulator output signal:

$$S(f)= Z(f) \star Q(f) = 1/2 \cdot \delta (f + f_{\rm T})\star Q(f)+1/2 \cdot \delta (f - f_{\rm T})\star Q(f) = 1/2 \cdot Q (f + f_{\rm T})+ 1/2 \cdot Q(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Please note:}$  This equation takes into account that the convolution of a shifted Dirac function  $δ(x – x_0)$  with an arbitrary function $f(x)$  yields the   shifted function  $f(x - x_0)$ .

Spectrum of DSB-AM without a carrier

The diagram displays the result. One can identify the following characteristics:

• Due to the system-theoretic approach with positive and negative frequencies, $S(f)$  is composed of two parts around  $\pm f_{\rm T}$ , each of which have the same shape as  $Q(f)$ .
• The factor  $1/2$  results from the carrier amplitude  $A_{\rm T} = 1$.  Thus,  $s(t = 0) = q(t = 0)$, and the integrals over their spectral functions  $S(f)$  and  $Q(f)$  must also be equal.
• The channel bandwidth  $B_{\rm K}$  must be at least twice the signal bandwidth  $B_{\rm NF}$, which gives the name "double-sideband amplitude modulation"(DSB–AM).
• It should be noted that $B_{\rm NF}$ and $B_{\rm K}$  are absolute and  non-equivalent bandwidths.  The latter are defined over rectangles of equal area and are denoted by $Δf_q$  and  $Δf_{\rm K}$  in our tutorial, respectively.
• The Spectral function  $S(f)$  does not include any Dirac-lines at the carrier frequency  $(\pm f_{\rm T})$.  Therefore, this method is also referred to as "DSB-AM without carrier".
• The frequency components above the carrier frequency  $f_{\rm T}$  are called the upper sideband  (USB), and those below  $f_{\rm T}$  are the lower sideband  (LSB).

Description in the time domain

Adapting the notation and nomenclature to this problem, the convolution theorem reads:

$$S(f) = Z(f) \star Q(f)\hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} s(t) = q(t) \cdot z(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

This result is still true if the restrictions made on the last page $($real-valued spectrum  $Q(f)$, carrier phase  $ϕ_{\rm T} = 0)$  are removed. In general, this results in a complex-valued spectral function  $S(f)$.

Models of DSB–AM without a carrier

According to this equation, two models can be given for double-sideband amplitude modulation. These are to be interpreted as follows:

• The first model directly describes the relationship given above, where here the carrier  $z(t) = \cos(ω_{\rm T}t + ϕ_{\rm T})$  is applied without a unit.
• The second model is more in line with the physical conditions, after each signal also has a unit. If  $q(t)$  and  $z(t)$  are voltages respectively, the model still needs to provide a scaling with the modulator constant  $K_{\rm AM}$  (unitso that the output signal  $s(t)$  also represents a voltage waveform.
• If we set  $K_{\rm AM} = 1/A_{\rm T}$, both models are the same.  In the following, we will always assume the simpler model.

Signal waveforms in DSB–AM without a carrier

$\text{Example 1:}$  The graph shows in red the transmitted signals  $s(t)$  for DSB–AM with two different carrier frequencies. 

• The source signal  $q(t)$  with bandwidth  $B_{\rm NF} = 4\text{ kHz}$, which is the same in both cases, is drawn in solid blue and the signal  $-q(t)$&nbsp is dashed.
• The carrier signal  $z(t)$  has a cosine shape in both cases.
• In the upper image, the carrier frequency is  $f_{\rm T} = 20\text{ kHz}$  and the lower image  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.

Ring modulator

Eine Möglichkeit zur Realisierung der  „Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Trägerunterdrückung”  bietet der so genannte  Ringmodulator, der auch unter der Bezeichnung  Doppelgegentakt–Diodenmodulator  bekannt ist.  Nachfolgend sehen Sie links die Schaltung und rechts ein einfaches Funktionsschaltbild.

Ringmodulator zur Realisierung der ZSB–AM ohne Träger

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit kann das Prinzip wie folgt dargestellt werden:

• Die Amplitude der harmonischen Trägerschwingung  $z(t)$  sei sehr viel größer als der Maximalwert  $q_{\rm max}$  des Nachrichtensignals  $q(t)$.  Somit werden alle Dioden als Schalter betrieben.
• Bei positiver Halbwelle der Trägerschwingung  $(z(t) > 0)$  leiten die zwei magentafarbenen Dioden, während die olivfarbenen sperren.  Ohne Berücksichtigung von Verlusten gilt somit  $s(t) = q(t)$.
• Bei negativer Halbwelle leiten die olivfarbenen Dioden und die Dioden in den Längszweigen sperren.  Wie aus dem rechten Bild hervorgeht, gilt bei dieser unteren Schalterstellung  $s(t) = \ – q(t)$.
• Wegen des Schalterbetriebs kann die harmonische Schwingung  $z(t)$  auch durch ein periodisches Rechtecksignal gleicher Periodendauer ersetzt werden:

$$z_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {z(t) >0,} \\ {z(t) <0.} \\ \end{array}$$

• Das modulierte Signal  $s(t)$  ergibt sich dann als das Produkt des Nachrichtensignals  $q(t)$  mit diesem Rechtecksignal  $z_{\rm R}(t)$, während bei idealer ZSB–AM mit einem Cosinussignal multipliziert wird.
• Der Träger  $z(t)$  selbst ist im Signal  $s(t)$  nicht enthalten.  Da dieser über die Mittelanzapfungen der Übertrager zugeführt wird, heben sich die induzierten Spannungen auf („ZSB–AM ohne Träger”).

$\text{Beispiel 2:}$  Nun wird die Wirkungsweise des Ringmodulators anhand beispielhafter Signalverläufe nochmals beschrieben.  Die Trägerfrequenz sei  $f_{\rm T} = 10\text{ kHz}$.

Signale zur Verdeutlichung des Ringmodulators

• Die obere Grafik zeigt die Signale  $q(t)$  und  $-q(t)$  als magenta- bzw. olivfarbene Kurvenverläufe.

• Dazu ist blau-gestrichelt das bipolare Rechtecksignal  $z_{\rm R}(t)$  dargestellt, das die Werte  $±1$  annimmt.

• Die mittlere Grafik zeigt das modulierte Signal des Ringmodulators:

$$s_{\rm RM}(t) = q(t) · z_{\rm R}(t).$$

• Zum Vergleich ist in der unteren Skizze das herkömmliche ZSB–AM–Signal dargestellt:

$$s(t) = q(t) · \cos(ω_{\rm T} · t).$$

Man erkennt deutliche Unterschiede, die sich jedoch auf einfache Weise kompensieren lassen:

• Die Fourierreihendarstellung des periodischen Rechtecksignals  $z_{\rm R}(t)$  lautet:

$$z_{\rm R}(t) = \frac{4}{\pi} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t)-\frac{4}{3\pi} \cdot \cos(3\omega_{\rm T}\cdot t) +\frac{4}{5\pi} \cdot \cos(5\omega_{\rm T}\cdot t)- \text{ ...}$$

• Die dazugehörige Spektralfunktion besteht demnach aus Diraclinien bei  $±f_{\rm T}, ±3f_{\rm T}, ±5f_{\rm T}$  usw.  Die Faltung mit  $Q(f)$  führt zu der Spektralfunktion (der Index steht für „Ringmodulator”):

$$S_{\rm RM}(f) = \frac{2}{\pi} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})-\frac{2}{3\pi} \cdot Q (f \pm 3f_{\rm T})+\frac{2}{5\pi} \cdot Q (f \pm 5f_{\rm T}) -\text{ ...} \hspace{0.05cm}$$

• Daraus ist ersichtlich, dass durch eine geeignete Bandbegrenzung $($zum Beispiel auf  $±2f_{\rm T})$ und eine Dämpfung mit  $π/4 ≈ 0.785$  das bekannte ZSB–AM–Spektrum gewonnen werden kann:

$$S(f) = {1}/{2} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Bei diesen Überlegungen ist zu berücksichtigen, dass stets  $B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$  angenommen werden kann.

AM-Signale und -Spektren bei harmonischem Eingangssignal

Nun soll der für Testzwecke wichtige Sonderfall betrachtet werden, dass nicht nur das Trägersignal  $z(t)$, sondern auch das zu modulierende Nachrichtensignal  $q(t)$  eine harmonische Schwingung ist:

$$\begin{align*}q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}, \\ \\ z(t) & = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Bitte beachten Sie:   Bei der Beschreibung von Modulationsverfahren wird in obigen Gleichungen der Phasenterm mit Pluszeichen berücksichtigt.

• Somit steht  $ϕ_{\rm N} = - 90^\circ$  für ein sinusförmiges Eingangssignal  $q(t)$  und  $ϕ_{\rm T} = - 90^\circ$  kennzeichnet ein sinusförmiges Trägersignal $z(t)$.
• Damit lautet die Gleichung für das modulierte Signal:

$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung kann mit Hilfe des Additionstheorems der Trigonometrie umgeformt werden:

$$s(t) = A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N} \big ] + A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

• Bei cosinusförmigen Signalen  $(ϕ_{\rm T} = ϕ_{\rm N} = 0)$  vereinfacht sich diese Gleichung zu

$$s(t) = {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\cdot t\big] + {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Durch Fouriertransformation kommt man zur Spektralfunktion:

$$S(f) = {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[\delta ( f - f_{\rm T} - f_{\rm N})+\delta ( f + f_{\rm T} + f_{\rm N})\big)] + {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[ \delta ( f - f_{\rm T}+ f_{\rm N})+\delta ( f+ f_{\rm T} - f_{\rm N} ) \big]\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis, zu dem man auch über die Faltung gekommen wäre, besagt:

• Das Spektrum besteht aus vier Diraclinien bei den Frequenzen  $±(f_{\rm T} + f_{\rm N})$  und  $±(f_{\rm T} - f_{\rm N})$, wobei in beiden Klammerausdrücken die erste Diracfunktion diejenige bei positiver Frequenz angibt.
• Die Gewichte aller Diracfunktionen sind gleich und jeweils  $A_{\rm N}/4$.  Die Summe dieser Gewichte – also das Integral über $S(f)$ – ist entsprechend der Theorie gleich dem Signalwert  $s(t = 0) = A_{\rm N}$.
• Die Diraclinien bleiben auch für  $ϕ_{\rm T} ≠ 0$  und/oder  $ϕ_{\rm N} ≠ 0$  bei den gleichen Frequenzen erhalten.  Zu den Gewichten  $A_{\rm N}/4$  müssen dann jedoch komplexe Drehfaktoren hinzugefügt werden.

$\text{Beispiel 3:}$  Die folgende Grafik zeigt die Spektralfunktionen  $S(f)$  für unterschiedliche Werte von  $ϕ_{\rm T}$  bzw.  $ϕ_{\rm N}$.  Die weiteren Parameter sind zu  $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$,  $f_{\rm N} = 10\text{ kHz}$  und  $A_{\rm N} = 4\text{ V}$  vorausgesetzt.  Die Beträge aller Diraclinien sind somit  $A_{\rm N}/4 = 1\text{ V}$.

Beispielhafte Spektren der ZSB–AM

• Das linke obere Bild zeigt den gerade besprochenen Fall:   Sowohl der Träger als auch das Nachrichtensignal sind cosinusförmiges. Somit setzt sich das amplitudenmodulierte Signal  $s(t)$  aus zwei Cosinusschwingungen mit  $ω_{60} = 2 π · 60\text{ kHz}$  und  $ω_{40} = 2 π · 40\text{ kHz}$  zusammen.

• Bei den drei anderen Konstellationen ist zumindest eines der Signale  $q(t)$  bzw.  $z(t)$  sinusförmig, so dass stets  $s(0) = 0$  ist.  Somit ergeben sich bei diesen Spektren die Summe der vier Impulsgewichte jeweils zu Null.

• Das rechte untere Bild beschreibt  $s(t) = A_{\rm N} · \sin(ω_{\rm N} t) · \sin(ω_{\rm T}t)$.  Die Multiplikation zweier ungerader Funktionen ergibt die gerade Funktion  $s(t)$  und damit ein reelles Spektrum  $S(f)$.  Dagegen führen die beiden anderen Konstellationen jeweils zu imaginären Spektralfunktionen.

Double-Sideband Amplitude Modulation with carrier

Die folgende Grafik zeigt, wie man von der  „ZSB–AM ohne Träger”  zur bekannteren Variante  „ZSB–AM mit Träger”  gelangt.  Diese hat den Vorteil, dass durch eine einfache Maßnahme beim Sender der Demodulator sehr viel einfacher und billiger realisiert werden kann.

Modelle der ZSB–AM mit Träger

Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:

• Die obere Darstellung zeigt das physikalische Modell der „ZSB–AM mit Träger”, wobei Veränderungen gegenüber der „ZSB–AM ohne Träger” rot hervorgehoben sind.
• Dem Signal  $s(t)$  ist additiv das Trägersignal  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$  hinzugefügt, das im Spektrum zwei zusätzliche Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  bewirkt,  jeweils mit dem Impulsgewicht  $A_{\rm T}/2$.
• Durch Addition des Gleichsignals  $A_{\rm T}$  zum Quellensignal und anschließende Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger  $z(t)$  entsprechend der unteren Skizze ergibt sich das gleiche Signal  $s(t)$  und das gleiche Spektrum  $S(f)$  wie oben.
• Die zweite Darstellung ist also mit dem oberen Modell äquivalent.  Die Trägerphase ist in beiden Fällen nur aus Gründen einer vereinfachten Darstellung  $ϕ_{\rm T} = 0$  gesetzt.

$\text{Beispiel 4:}$  Die  Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger  findet auch heutzutage noch ihre Hauptanwendung in der Rundfunkübertragung auf

• Langwelle    $($Frequenzbereich  $\text{30 kHz}$ ... $\text{300 kHz})$,
• Mittelwelle  $($Frequenzbereich  $\text{300 kHz}$ ... $\text{3 MHz})$,
• Kurzwelle    $($Frequenzbereich  $\text{3 MHz}$ ... $\text{30 MHz})$.

Diese Frequenzen werden jedoch mehr und mehr für digitale Anwendungen freigegeben, zum Beispiel für  Digital Video Broadcast  (DVB).

Eine Anwendung von  Zweiseitenband-Amplitudenmodulation ohne Träger  gibt es beispielsweise beim UKW-Stereo-Rundfunk:

• Hier wird das Differenzsignal zwischen den beiden Stereokanälen bei  $\text{39 kHz}$  trägerlos amplitudenmoduliert.
• Dann werden das Summensignal der beiden Kanäle  $($jeweils im Bereich  $\text{30 Hz}$ ... $\text{15 kHz})$, ein Hilfsträger bei  $\text{19 kHz}$  sowie das Differenzsignal zusammengefasst und frequenzmoduliert.

$\text{Beispiel 5:}$  Die folgenden Signalverläufe sollen das Prinzip der „ZSB–AM mit Träger” weiter verdeutlichen.

Signalverläufe bei der ZSB–AM mit Träger

• Oben sehen Sie einen Ausschnitt des auf Frequenzen  $\vert f \vert \le 4\text{ kHz}$  begrenzten Quellensignal  $q(t)$.

• $s(t)$  ergibt sich, wenn man zu  $q(t)$  den Gleichanteil  $A_{\rm T}$  addiert und die Signalsumme mit dem Trägersignal  $z(t)$  der Frequenz  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$  multipliziert.

• Unten ist zum Vergleich das Sendesignal der „ZSB–AM ohne Träger” dargestellt.

Ein Vergleich dieser Signalverläufe zeigt:

• Durch die Zusetzung des Gleichanteils  $A_{\rm T}$  wurde erreicht, dass nun das Nachrichtensignal  $q(t)$  in der Hüllkurve von  $s(t)$  zu erkennen ist.
• Dadurch kann die  Hüllkurvendemodulation  angewandt werden, die einfacher und billiger zu realisieren ist als die kohärente  Synchrondemodulation.
• Voraussetzung für die Anwendung des Hüllkurvendemodulators ist aber ein Modulationsgrad  $m <1$.  Dieser ist wie folgt definiert:

$$m = \frac{q_{\rm max} }{A_{\rm T} } \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q_{\rm max} = \max_{t} \hspace{0.05cm} \vert q(t) \vert\hspace{0.05cm}.$$

• Der Vorteil eines einfacheren Demodulators muss aber durch eine deutlich höhere Sendeleistung erkauft werden, da der Leistungsbeitrag des Trägers nicht zur Demodulation genutzt werden kann.
• Weiter ist zu darauf zu achten, dass das Quellensignal keinen Gleichanteil beinhaltet, da dieser durch den Träger überdeckt würde.  Bei Sprach– und Musiksignalen ist dies allerdings keine große Einschränkung.

Beschreibung der ZSB-AM durch das analytische Signal

Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen

Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum  $S_+(f)$  des  analytischen Signals  anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums  $S(f)$  angegeben. 

Beispielhaft betrachten wir hier eine  „ZSB–AM mit Träger”  und folgende Signale:

$$\begin{align*}s(t) & = \left(q(t) + A_{\rm T}\right) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ \\ q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N}\cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Dann lautet das dazugehörige analytische Signal:

$$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}\phi_{\rm T})}+ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}((\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} )\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N})} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.01cm}((\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} )\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N})} \hspace{0.05cm}.$$

Die zugehörige Spektralfunktion  $S_+(f)$  besteht aus drei Diraclinien mit jeweils komplexen Gewichten entsprechend der Grafik:

• Die linke Skizze zeigt den Betrag  $|S_+(f)|$, wobei  $A_{\rm T}$  das Gewicht des Trägers angibt und  $A_{\rm N}/2$  die Gewichte von  OSB  (oberes Seitenband)  und  USB  (unteres Seitenband).
• In Klammern stehen die auf  $A_{\rm T}$  normierten Werte.  Da hier  $q_{\rm max} = A_{\rm N}$  gilt, erhält man mit dem Modulationsgrad  $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$  als normierte Gewichte von oberem und unterem Seitenband jeweils  $m/2$.
• Die rechte Skizze gibt einen Blick in Richtung der Frequenzachse und zeigt die Phasenwinkel von Träger  $(ϕ_{\rm T})$, USB  $(ϕ_{\rm T} – ϕ_{\rm N})$  und OSB  $(ϕ_{\rm T} + ϕ_{\rm N})$.

Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie

Nichtlinearitäten sind in der Nachrichtentechnik meist unerwünscht und störend.  Wie im Kapitel  Nichtlineare Verzerrungen  des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt, führen sie dazu, dass

• das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist,
• das Übertragungsverhalten von der Größe des Eingangssignals abhängt,  und
• die Verzerrungen von nichtlinearer Art und damit irreversibel sind.

Eine Nichtlinearität der allgemeinen Form

$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t)+ c_3 \cdot x^3(t) + \text{...}$$

kann aber auch zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.  Unter der Voraussetzung, dass

• nur die Koeffizienten  $c_1$  und  $c_2$  vorhanden sind, und
• das Eingangssignal  $x(t) = q(t) + z(t)$  angelegt wird,

erhält man für das Ausgangssignal der Nichtlinearität:

$$y(t) = c_1 \cdot q(t) + c_1 \cdot z(t) + c_2 \cdot q^2(t)+ 2 \cdot c_2 \cdot q(t)\cdot z(t)+ c_2 \cdot z^2(t)\hspace{0.05cm}.$$

Der erste, der dritte und der letzte Anteil liegen – spektral gesehen – bei  $| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$  bzw.  $| f | = 2 · f_{\rm T}$.

Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, so erhält man die für  „ZSB–AM mit Träger”  typische Gleichung 
(nur noch der zweite und der vierte Term):

$$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot q(t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

Der Modulationsgrad ist bei dieser Realisierungsform durch die Koeffiziente  $c_1$  und  $c_2$  veränderbar:

$$m = \frac{2 \cdot c_2 \cdot q_{\rm max}}{c_1} \hspace{0.05cm}.$$

Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.  Kubische Anteile  $(c_3 ≠ 0)$  und Nichtlinearitäten höherer Ordnung führen allerdings zu (großen) nichtlinearen Verzerrungen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?

Aufgabe 2.1Z: ZSB-AM ohne/mit Träger

Aufgabe 2.2: Modulationsgrad

Aufgabe 2.2Z: Leistungsbetrachtung

Aufgabe 2.3: ZSB–AM–Realisierung

Aufgabe 2.3Z: ZSB durch Nichtlinearität