Aufgaben:Exercise 3.6Z: Transition Diagram at 3 States

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State transition diagram for  $m = 3$  (incomplete)

In the state transition diagram of an encoder with memory  $m$  there are  $2^m$  states. Therefore, the diagram shown with eight states describes a convolutional encoder with memory  $m = 3$.

Usually the states are denoted by  $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, where the index  $\mu$  is determined from the occupancy of the shift register (contents from left to right:   $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$ :

$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}

\hspace{0.05cm}.$$

The state  $S_0$  therefore results for the shift register content "$000$", the state  $S_1$  for "$100$" and the state  $S_7$  for "$111$".

However, in the above graphic, for the states  $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$  placeholder names  $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$  used. In the subtasks (1) and (2) you should clarify which placeholder stands for which state.

For convolutional encoders of rate  $1/n$, which will be exclusively considered here, two arrows depart from each state  $S_{\mu}$ ,

• one red one for the current information bit  $u_i = 0$  and.
• a blue one for  $u_i = 1$.

This is another reason why the state transition diagram shown is not complete. It is to be mentioned furthermore:

• At each state also two arrows arrive, whereby these can be absolutely of the same color.
• Next to the arrows there are usually the  $n$  code bits. This was also omitted here.

Hints:

• The exercise belongs to the chapter  "Code Description with State and Trellis Diagram".

• In  "Exercise 3.7Z"  two convolutional codes with memory  $m = 3$  are examined, both of which can be described by the transition diagram analyzed here.
• Please include the appropriate index  $\mu$  for all questions.
• Reference is made in particular to the sections 
  • "State definition for a memory register"  as well as.
  • "Representation in the state transition diagram".

Questions

1 Für welche Zustände  $S_{\mu}$  stehen die Platzhalter  $\mathbf{A}$  und  $\mathbf{F}$?

${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

2 Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes.

${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

3 Zu welchem Zustand  $S_{\mu}$  geht der jeweils zweite Pfeil?

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

Musterlösung

Solution

Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen

(1)  Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$  ⇒  $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$.

• Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
• Vom Zustand $S_7$  ⇒  $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$.
• Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.

(2)  Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:

$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$

$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$

$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$

$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$

$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$

$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$

$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$

$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$

• Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4.
• Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.

(3)  Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$.

Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen

Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:

• Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
• Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
• Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.

Einzugeben sind also die Indizes in der Reihenfolge 3, 6, 2, 6.