#[[Channel_Coding/Code_Description_with_State_and_Trellis_Diagram#Definition_of_the_free_distance|"Definition of the free distance"]]
#[[Channel_Coding/Code_Description_with_State_and_Trellis_Diagram#Definition_of_the_free_distance|"Definition of the free distance"]]
#[[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#GF.282.29_description_forms_of_a_digital_filter|"GF(2) description forms of a digital filter"]]
#[[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#GF.282.29_description_forms_of_a_digital_filter|"GF(2) description forms of a digital filter"]]
#[[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D.E2.80.93transform_to_rate_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax160-QINU.60.22.27.7F_convolution_encoders| "Application of $D$–transformation to rate 1/n convolutional codes."]]
#[[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D.E2.80.93transform_to_rate_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax160-QINU.60.22.27.7F_convolution_encoders| "Application of $D$–transform to rate 1/n convolutional codes."]]
In the state transition diagram, the state $S_0$ is always assumed. Two arrows go from each state. The label is "$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$". For a systematic code, this holds:
In the state transition diagram, the state $S_0$ is always assumed. Two arrows go from each state. The label is "$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$". For a systematic code, this holds:
* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
* The first code bit is identical to the information bit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
* The second code bit is the check bit (parity bit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
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''Hinweise:''
Hints:
* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Channel_Coding/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
* The exercise refers to the chapter [[Channel_Coding/The_Basics_of_Turbo_Codes| "Basics of Turbo Codes"]].
* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:
* The following semi–infinite vectors are used in the questions for this exercise:
{Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge $\underline{p}$?
{Now consider the bounded input sequence $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Which statements hold for the then also bounded parity sequence $\underline{p}$?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Die ersten acht Bit der Parityfolge sind "$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$".
- The first eight bits of the parity sequence are "$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$."
+ Die ersten acht Bit der Parityfolge sind "$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$".
+ The first eight bits of the parity sequence are "$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$".
+ Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$.
+ It holds $p_i = 0$ for $i ≥ 9$.
{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes?
{What is the free distance $d_{\rm F}$ of the considered convolutional code?
|type="{}"}
|type="{}"}
$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }
$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
'''(1)''' Correct is the <u>proposed solution 2</u>:
*Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
*The impulse response $\underline{g}$ is equal to the output sequence $\underline{p}$ for the input sequence $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
*Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
*Based on the state $S_0$, the state transition diagram results in the following transitions:
*Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
*For a non-recursive filter with memory $m$, $g_i ≡ 0$ holds for $i > m$. In our example, $m = 2$.
*Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes| Aufgabe 4.9]].
*In contrast, the proposed solution 1 applies to the recursive filter (RSC) corresponding to [[Aufgaben:Exercise_4.09:_Recursive_Systematic_Convolutional_Codes| "Exercise 4.9"]].
'''(2)''' Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:
'''(2)''' Let $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ and $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Then the following holds for the parity sequence due to linearity:
Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3:
Correct are therefore the <u>proposed solutions 1 and 2</u> in contrast to the answer 3:
*Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.
*For $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ and $p_i ≡ 0$ for $i > 9$.
'''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
'''(3)''' Correct is the <u>proposed solution 2</u>:
*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$.
*From the state transition diagram one can see the code parameters $k = 1$ and $n = 2$.
*Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch.
*This means: the transfer function matrix $\mathbf{G}(D)$ consists of two elements ⇒ the proposition 3 is wrong.
* Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
* The first component of $\mathbf{G}(D)$ is actually 1, since there is a systematic code: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
* Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
* The second component of $\mathbf{G}(D)$ is equal to the $D$–transform of the impulse response $\underline{g}$, where the dummy–variable $D$ indicates a delay of one bit:
Starting from the adjacent state transition diagram, essential properties and characteristics of the considered rate $1/2$ convolutional code shall be determined, and we explicitly refer to the following theory pages:
In the state transition diagram, the state $S_0$ is always assumed. Two arrows go from each state. The label is "$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$". For a systematic code, this holds:
The first code bit is identical to the information bit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
The second code bit is the check bit (parity bit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
The impulse response $\underline{g}$ is equal to the output sequence $\underline{p}$ for the input sequence $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
Based on the state $S_0$, the state transition diagram results in the following transitions:
For a non-recursive filter with memory $m$, $g_i ≡ 0$ holds for $i > m$. In our example, $m = 2$.
In contrast, the proposed solution 1 applies to the recursive filter (RSC) corresponding to "Exercise 4.9".
(2) Let $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ and $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Then the following holds for the parity sequence due to linearity:
Correct are therefore the proposed solutions 1 and 2 in contrast to the answer 3:
For $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ and $p_i ≡ 0$ for $i > 9$.
(3) Correct is the proposed solution 2:
From the state transition diagram one can see the code parameters $k = 1$ and $n = 2$.
This means: the transfer function matrix $\mathbf{G}(D)$ consists of two elements ⇒ the proposition 3 is wrong.
The first component of $\mathbf{G}(D)$ is actually 1, since there is a systematic code: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
The second component of $\mathbf{G}(D)$ is equal to the $D$–transform of the impulse response $\underline{g}$, where the dummy–variable $D$ indicates a delay of one bit:
(5) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.
Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
