Channel Coding/Examples of Binary Block Codes

1. Channel Coding
2. Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
3. Examples of Binary Block Codes

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Single Parity–check Codes

Der Single Parity–check Code (SPC) fügt zu dem Informationsblock $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$ ein Prüfbit (englisch: Parity ) $p$ hinzu:

\[\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , u_k) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x} = (x_1, x_2,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , x_n) = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , u_k, p) \hspace{0.05cm}.\]

Single Parity–check Code $(n = k + 1)$

Die Grafik zeigt drei Coder–Beispiele mit

• $|\mathcal{C}| = 4 \ (k = 2)$,
• $|\mathcal{C}| = 8 \ (k = 3)$,
• $|\mathcal{C}| = 16 \ (k = 4)$.

Dieser sehr einfache Code kann wie folgt charakterisiert werden:

• Aus $n = k + 1$ folgt für die Coderate  $R = k/n = (n-1)/n$ und für die Redundanz  $1-R = 1/n$. Für $k = 2$ ergibt sich zum Beispiel die Coderate $2/3$ und die relative Redundanz beträgt $33.3\%$.

• Das Prüfbit erhält man durch die Modulo–2–Addition. Darunter versteht man die Addition im Galoisfeld zur Basis 2   ⇒   GF(2), sodass $1 \oplus 1 = 0$ ergibt:

\[p = u_1 \oplus u_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus u_k \hspace{0.05cm}.\]

• Damit enthält jedes gültige Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen. Ausgedrückt mit $\oplus$ bzw. in vereinfachter Schreibweise gemäß der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:

\[ x_1 \oplus x_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus x_n = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm oder:}\hspace{0.15cm} \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} x_i = 0\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm} {\rm Addition\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} GF(2)} \hspace{0.05cm}. \]

• Für $k = 2$   ⇒   $n = 3$ ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei das Prüfbit $p$ jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:

\[\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}.\]

• Der Code $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0), \ (0, 1, 1), \ (1, 0, 1), \ (1, 1, 0) \big \}$ ist linear, da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel

$$\underline{x}_1 \oplus \underline{x}_2 = \underline{x}_3.$$

• Für beliebiges $k$   ⇒   $n = k+1$ unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Die minimale Distanz des Codes ist $d_{\rm min} = 2$.
  
  

$\text{Definition:}$  Jeder Single Parity–check Code $\text{(SPC)}$ lässt sich formal wie folgt beschreiben:

\[\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}{\rm mit \hspace{0.15cm}geradzahliger\hspace{0.15cm} Anzahl\hspace{0.15cm} von\hspace{0.15cm} Einsen\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} } \underline{x} \}\hspace{0.05cm}.\]

• Mit der allgemeinen Codebezeichnung $(n, \ k, \ d_{\rm min})$ lässt sich jeder Single Parity–check Code auch mit $(n, \ n-1, \ 2)$ benennen.
• Die obere Grafik zeigt somit den $\text{SPC (3, 2, 2)}$, den $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und den $\text{SPC (5, 4, 2)}$.

Der digitale Kanal ändert möglicherweise das Codewort $\underline{x}= (x_1, x_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, x_n)$ in das Empfangswort $\underline{y}= (y_1, y_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, y_n)$. Mit dem Fehlervektor $\underline{e}= (e_1, e_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, e_n)$ gilt:

$$\underline{y}= \underline{x} \oplus \underline{e}.$$

Zur Decodierung des Single Parity–check Codes bildet man das so genannte Syndrom:

\[s = y_1 \oplus y_2 \oplus \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \oplus y_n = \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} y_i \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1 \} \hspace{0.05cm}.\]

Das Ergebnis $s=1$ weist dann auf (mindestens) einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin, während $s=0$ wie folgt zu interpretieren ist:

• Die Übertragung war fehlerfrei, oder:
  
• Die Anzahl der Bitfehler ist geradzahlig.
  
  

Mögliche Empfangswerte beim $\text{SPC (4, 3, 2)}$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten den $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und gehen davon aus, dass das Nullwort gesendet wurde.

Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten, dass $f$ Bit verfälscht werden und gibt das jeweilige Syndrom $s \in \{0, 1\}$ an.
Für das BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 1\%$ ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten:

• Das Informationswort wird richtig decodiert (blaue Hinterlegung):

\[{\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) = {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \varepsilon)^n = 0.99^4 \approx 96\,\%\hspace{0.05cm}.\]

• Der Decoder erkennt, dass Übertragungsfehler aufgetreten sind (grüne Hinterlegung):

\[{\rm Pr}(s=1) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{f=1 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} = {4 \choose 1} \cdot 0.01 \cdot 0.99^3 + {4 \choose 3} \cdot 0.01^3 \cdot 0.99 \approx 3.9\,\%\hspace{0.05cm}.\]

• Das Informationswort wird falsch decodiert (rote Hinterlegung):

\[{\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{f=2 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm gerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) - {\rm Pr}(s=1)\approx 0.1\,\%\hspace{0.05cm}.\]

Wir verweisen hier auf das interaktive Applet Binomial- und Poissonverteilung. Die hier gewonnenen Ergebnisse werden auch in der Aufgabe A1.5 nochmals diskutiert.

$\text{Beispiel 2:}$  Eine Fehlerkorrektur des Single Parity–check Codes ist beim BSC–Modell nicht möglich im Unterschied zum BEC–Kanal (Binary Erasure Channel). Bei diesem werden Bitfehler ausgeschlossen. Ist nur ein Bit ausgelöscht (englisch: Erasure, $\rm E$), so ist aufgrund der Tatsache „die Anzahl der Einsen im Codewort ist gerade” auch eine Fehlerkorrektur möglich, zum Beispiel für den $\text{SPC (5, 4, 2)}$:

\[\underline{y} = (1, 0, {\rm E}, 1, 1) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (1, 0, 1, 1, 1) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{v} = (1, 0, 1, 1) = \underline{u}\hspace{0.05cm},\] \[\underline{y}=(0, 1, 1, {\rm E}, 0) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (0, 1, 1, 0, 0) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{v} = (0, 1, 1, 0) = \underline{u}\hspace{0.05cm},\] \[\underline{y} = (0, 1, 0, 1, {\rm E}) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{v} = (0, 1, 0, 1) = \underline{u}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beispiel 3:}$  Auch beim AWGN–Kanal ist Fehlerkorrektur möglich, wenn man Soft Decision anwendet. Für das Folgende gehen wir von bipolarer Signalisierung aus:

Zur Verdeutlichung von Soft Decision bei AWGN

• $x=0$   ⇒   → $\tilde{x}= +1$, sowie
• $x=1$   ⇒   → $\tilde{x}= -1$.
  

Die Grafik verdeutlicht den hier dargelegten Sachverhalt:

• Beispielsweise lautet der Empfangsvektor (rote Punkte):

\[\underline{y} = (+0.8, -1.2, -0.1, +0.5, -0.6) \hspace{0.05cm}.\]

• Bei harter Entscheidung (Schwelle $G = 0$, nur die Vorzeichen werden ausgewertet) würde man zu folgendem binären Ergebnis kommen (grüne Quadrate $Y_i = y_i/ \vert y_i \vert$):

\[\underline{Y} = (+1, -1, -1, +1, -1) \hspace{0.05cm}.\]

• In Symbolschreibweise ergibt sich daraus $(0, 1, 1, 0, 1)$, was kein gültiges Codewort des $\text{SPC (5, 4, 2)}$ ist   ⇒   Syndrom $s = 1$. Also müssen ein, drei oder fünf Bit verfälscht worden sein.
  

• Die Wahrscheinlichkeit für drei oder fünf Bitfehler ist allerdings um Größenordnungen kleiner als diejenige für einen einzigen Fehler. Die Annahme „ein Bitfehler” ist deshalb nicht abwegig.
  

• Da der Empfangswert $y_3$ sehr nahe an der Schwelle $G = 0$ liegt, geht man davon aus, dass genau dieses Bit verfälscht wurde.

• Damit fällt bei Soft Decision die Entscheidung für $\underline{z} = (0, 1, 0, 0, 1)$   ⇒   $\underline{v} = (0, 1, 0, 0)$.
• Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u})$ ist so am geringsten.

Wiederholungscodes

$\text{Definition:}$  Ein Wiederholungscode (englisch: Repetition Code, $\rm RC)$ ist ein linearer binärer $(n, \, k)$–Blockcode der Form

\[\mathcal{C} = \big \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n): x_i = x_j \hspace{0.15cm}{\rm f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}alle\hspace{0.25cm} } i, j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, n \big \}.\]

• Der Codeparameter $n$ bezeichnet die Codelänge. Unabhängig von $n$ gilt stets $k = 1$.
• Entsprechend existieren nur die zwei Codeworte $(0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 0)$ und $(1, 1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , 1)$, die sich in $n$ Binärstellen unterscheiden.
• Daraus folgt für die minimale Distanz $d_{\rm min} = n$.

Wiederholungscode (Repetition Code)

Die Grafik zeigt Wiederholungscodes für

• $n=3$,
• $n=4$,
• $n=5$.

• Dieser $(n, \, 1, \, n)$–Blockcode besitzt die sehr kleine Coderate $R = 1/n$, ist also nur für die Übertragung bzw. Speicherung kleiner Dateien geeignet.
• Andererseits ist der Wiederholungscode sehr robust.
• Insbesondere beim BEC–Kanal (Binary Erasure Channel) genügt ein einziges richtig übertragenes Bit an beliebiger Position (alle anderen Bit können ausgelöscht sein), um das Informationswort richtig zu decodieren.
  

$\text{Beispiel 4: Decodierung und Fehlerwahrscheinlichkeiten beim BSC–Kanal}$

Es gelte der BSC–Kanal mit $\varepsilon = 10\%$. Die Decodierung basiere auf dem Majoritätsprinzip.

• Bei ungeradem $n$ können $e=n-1$ Bitfehler erkannt und $t=(n-1)/2$ Bitfehler korrigiert werden. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der korrekten Decodierung der Informationsbits $u$:

\[{\rm Pr}(v = u) = \sum_{f=0 }^{(n-1)/2} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} \hspace{0.05cm}.\]

• Die nachfolgenden Zahlenwerte gelten für $n = 5$. Das heißt:   Es sind $t = 2$ Bitfehler korrigierbar:

\[{\rm Pr}(v = u) = (1 - \varepsilon)^5 + 5 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^4 + 10 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^3 \approx 99.15\,\%\]

\[\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(v \ne u) = 1- {\rm Pr}(v = u) \approx 0.85\,\%\hspace{0.05cm}.\]

• Bei geradem $n$ können dagegen nur $t=n/2-1$ Fehler korrigiert werden. Erhöht man $n$ von $5$ auf $6$, so sind weiterhin auch nur zwei Bitfehler innerhalb eines Codewortes korrigierbar. Einen dritten Bitfehler kann man zwar nicht korrigieren, aber zumindest erkennen:

\[{\rm Pr}({\rm nicht\hspace{0.15cm} korrigierbarer\hspace{0.15cm} Fehler}) = {6 \choose 3} \cdot \varepsilon^{3} \cdot (1 - \varepsilon)^{3}= 20 \cdot 0.1^{3} \cdot 0.9^{3}\approx 1.46\,\%\hspace{0.05cm}. \]

• Ein (unerkannter) Decodierfehler $(v \ne u)$ ergibt sich erst, wenn innerhalb des 6 Bit–Wortes vier oder mehr Bit verfälscht wurden. Als Näherung unter der Annahme, dass fünf oder sechs Bitfehler sehr viel unwahrscheinlicher sind als vier, gilt:

\[{\rm Pr}(v \ne u) \approx {6 \choose 4} \cdot \varepsilon^{4} \cdot (1 - \varepsilon)^{2}= 0.122\,\%\hspace{0.05cm}.\]

• Interessant ist, dass beim $\text{RC(6, 1, 6)}$ die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v = u)$ für eine mögliche und richtige Decodierung mit $98.42\%$ kleiner ist als beim $\text{RC (5, 1, 5)}$ mit $1- 0.00122 \approx 99.88\%$.

$\text{Beispiel 5: Leistungsfähigkeit des Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal}$

Nun betrachten wir den AWGN–Kanal. Bei uncodierter Übertragung (oder dem Wiederholungscode mit $n=1$) ist der Empfangswert $y = \tilde{x}+\eta$, wobei $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$ das Informationsbit bei bipolarer Signalisierung bezeichnet und $\eta$ den Rauschterm. Um Verwechslungen mit dem Codeparameter $n$ zu vermeiden, haben wir das Rauschen umbenannt:   $n → \eta$.

Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$

\[{\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) \hspace{0.05cm},\]

wobei folgende physikalische Größen zu verwenden sind:

• das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis $\rho= 1/\sigma^2 = 2 \cdot E_{\rm S}/N_0$,
  

• die Energie $E_{\rm S}$ pro Codesymbol   ⇒   Symbolenergie,
  

• die normierte Streuung $\sigma$ des Rauschens, gültig für das bipolare Informationsbit $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$, und
  

• die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte $N_0$ des AWGN–Rauschens.
  
  

Bei einem $(n, 1, n)$–Wiederholungscode ergibt sich dagegen für den Eingangswert des Maximum–Likelihood–Decoders $y \hspace{0.04cm}' = \tilde{x} \hspace{0.04cm}'+\eta \hspace{0.04cm}'$ mit folgenden Eigenschaften:

\[\tilde{x} \hspace{0.04cm}' =\sum_{i=1 }^{n} \tilde{x}_i \in \{ +n, -n \}\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm} n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Amplitude} \hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}n^2{\rm -fache \hspace{0.15cm}Leistung}\hspace{0.05cm},\]

\[\eta\hspace{0.04cm}' = \sum_{i=1 }^{n} \eta_i\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm} n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Varianz:\hspace{0.15cm} } \sigma^2 \rightarrow n \cdot \sigma^2\hspace{0.05cm},\]

\[\rho\hspace{0.04cm}' = \frac{n^2}{n \cdot \sigma^2} = n \cdot \rho \hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}(\sqrt{n \cdot \frac{2E_{\rm S} }{N_0} } )\hspace{0.05cm}.\]

Fehlerwahrscheinlichkeit des Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal

Die linke Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeit in doppelt logarithmischer Darstellung. Als Abszisse ist $10 \cdot \lg \, (E_{\rm S}/N_0)$ aufgetragen. Diese Kurvenschar kann wie folgt interpretiert werden:

• Trägt man die Fehlerwahrscheinlichkeit über der Abszisse $10 \cdot \lg \, (E_{\rm S}/N_0)$ auf, so ergibt sich durch $n$–fache Wiederholung gegenüber uncodierter Übertragung $(n=1)$ eine signifikante Verbesserung.
  

• Die Kurve für den Wiederholungsfaktor $n$ erhält man durch Linksverschiebung um $10 \cdot \lg \, n$ (in dB) gegenüber der Vergleichskurve. Der Gewinn beträgt $4.77 \ {\rm dB} \ (n = 3)$ bzw. $\approx 5 \ {\rm dB} \ (n = 5)$.
  

• Allerdings ist ein Vergleich bei konstantem $E_{\rm S}$ nicht fair, da man mit dem Repetition Code $\text{RC (5, 1, 5)}$ für die Übertragung eines Informationsbits eine um den Faktor $n$ größere Energie aufwendet:   $E_{\rm B} = E_{\rm S}/{R} = n \cdot E_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$

Aus der rechten Grafik erkennt man, dass alle Kurven genau übereinander liegen, wenn auf der Abszisse $10 \cdot \lg \, (E_{\rm S}/N_0)$ aufgetragen wird.

$\text{Fazit bezüglich Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal:}$

• Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist bei fairem Vergleich unabhängig vom Wiederholungsfaktor $n$:     ${\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}\left (\sqrt{2E_{\rm B} /{N_0} } \right ) \hspace{0.05cm}.$

• Beim AWGN–Kanal ist durch einen Wiederholungscode kein Codiergewinn zu erzielen.

Hamming–Codes

Richard Wesley Hamming hat 1962 eine Klasse binärer Blockcodes angegeben, die sich durch die Anzahl $m = 2, 3, \text{...} $ der zugesetzten Parity Bits unterscheiden. Für diese Codeklasse gilt:

• Die Codelänge ergibt sich stets zu $n = 2^m -1$. Möglich sind demzufolge beim Hamming–Code auch nur die Längen $n = 3$, $n = 7$, $n = 15$, $n = 31$, $n = 63$,$n = 127$, $n = 255$, usw.
  

• Ein Informationswort besteht aus $k = n-m$ Bit. Die Coderate ist somit gleich

\[R = \frac{k}{n} = \frac{2^m - 1 - m}{2^m - 1} \in \{1/3, \hspace{0.1cm}4/7,\hspace{0.1cm}11/15,\hspace{0.1cm}26/31,\hspace{0.1cm}57/63, \hspace{0.1cm}120/127,\hspace{0.1cm}247/255, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \}\hspace{0.05cm}.\]

• Alle Hamming–Codes weisen die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf. Bei größerer Codelänge $n$ erreicht man $d_{\rm min} = 3$ schon mit weniger Redundanz, also bei größerer Coderate $R$.
  

• Aus der Angabe $d_{\rm min} = 3$ folgt weiter, dass hier $e = d_{\rm min} -1 =2$ Fehler erkannt werden können und man $t = (d_{\rm min} -1)/2 = 1$ Fehler korrigieren kann.
  

• Der Hamming–Code $\text{HC (3, 1, 3)}$ ist identisch mit dem Wiederholungscode $\text{RP (3, 1, 3)}$ und lautet:

\[\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (1, 1, 1) \big \}\hspace{0.05cm}. \]

• Bei systematischer Codierung sind die ersten $k$ Stellen eines jeden Hamming–Codewortes $\underline{x}$ identisch mit dem Informationswort $\underline{u}$. Anschließend folgen dann die $m = n-k$ Paritätsbit:

\[\underline{x} = ( x_1, x_2,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, x_n) = ( u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, p_{n-k}) \hspace{0.05cm}.\]

Verdeutlichung des $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes

$\text{Beispiel 6: Paritätsgleichungen des (7, 4, 3)-Hamming-Codes}$
Im Folgenden betrachten wir stets den $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Code, der durch das nebenstehende Schaubild verdeutlicht wird. Daraus lassen sich die drei Bedingungen ableiten:

\[x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_5 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},\]

\[x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_6 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},\]

\[x_1 \oplus x_2 \oplus x_4 \oplus x_7 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm}. \]

• Im Schaubild kennzeichnet der rote Kreis die erste Prüfgleichung, der grüne die zweite und der blaue die letzte.
• In jedem Kreis muss die Anzahl der Einsen geradzahlig sein.

Zuordnung $\underline{u} → \underline{x}$ des systematischen $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes

Bei systematischer Codierung des $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes

\[x_1 = u_1 ,\hspace{0.2cm} x_2 = u_2 ,\hspace{0.2cm} x_3 = u_3 ,\hspace{0.2cm} x_4 = u_4 ,\hspace{0.2cm} x_5 = p_1 ,\hspace{0.2cm} x_6 = p_2 ,\hspace{0.2cm} x_7 = p_3 \]

lauten die Bestimmungsgleichungen der drei Prüfbit, wie aus dem Schaubild hervorgeht:

\[p_1 =u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},\]

\[p_2 = u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \hspace{0.05cm},\]

\[p_3 = u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \hspace{0.05cm}.\]

Die Tabelle zeigt die $2^k = 16$ zulässigen Codeworte $\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_3)$ des systematischen $\text{(7, 4, 3)}$–Codes.

• Das Informationswort $\underline{u} =( u_1, u_2, u_3, u_4)$ ist schwarz dargestellt und die Prüfbits $p_1$, $p_2$ und $p_3$ rot.
• Man erkennt anhand dieser Tabelle, dass sich jeweils zwei der $16$ möglichen Codeworte in mindestens $d_{\rm min} = 3$ Binärwerten unterscheiden.

Später wird die Decodierung linearer Blockcodes noch ausführlich behandelt. Das folgende Beispiel soll die Decodierung des Hamming–Codes eher intuitiv erklären.

$\text{Beispiel 7: Paritätsgleichungen des (7, 4, 3)-Hamming-Codes}$

Wir gehen weiter vom systematischen (7, 4, 3)–Code aus und betrachten das Empfangswort $\underline{y} = ( y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7)$. Zur Decodierung bilden wir die drei Paritätsgleichungen

\[ y_1 \oplus y_2 \oplus y_3 \oplus y_5 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (I)} \]

\[y_2 \oplus y_3 \oplus y_4 \oplus y_6 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm}0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (II)} \]

\[y_1 \oplus y_2 \oplus y_4 \oplus y_7 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.05cm}. \hspace{0.5cm}{\rm (III)}\]

Unter der Voraussetzung, dass in jedem Codewort höchstens ein Bit verfälscht wird, gelten dann die folgenden Aussagen ($\underline{v}$  bezeichnet hierbei das Decodierergebnis; dieses sollte stets mit $\underline{u} = (1, 0, 1, 0)$ übereinstimmen):

• Das Empfangswort $\underline{y} = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)$ erfüllt alle drei Paritätsgleichungen. Das heißt, dass kein einziger Übertragungsfehler aufgetreten ist   ⇒   $\underline{y} = \underline{x}$   ⇒   $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.
  

• Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort $\underline{y} =(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)$, so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.
  

• Mit $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1)$ wird nur die Gleichung (I) erfüllt und die beiden anderen nicht. Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren, und es gilt auch hier $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.
  

• Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits   ⇒   $\underline{y} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1)$ führt dazu, dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden. Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren da nur $u_2$ in allen Gleichungen vorkommt.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.5: SPC (5, 4) und BEC–Modell

Aufgabe 1.5Z: SPC (5, 4) vs. RC (5, 1)

Aufgabe 1.6: Zum (7, 4)–Hamming–Code