Aufgaben:Exercise 2.11Z: Erasure Channel for Symbols

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Auslöschungskanal für Symbole:   $m$–BEC

Das Kanalmodell  Binary Erasure Channel  (BEC) beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:

• Ein Binärsymbol  $0$  bzw.  $1$  wird mit der Wahrscheinlichkeit  $1 - \lambda$  richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit  $\lambda$  als Auslöschung  $\rm E$  (Erasure ) markiert.
• Im Gegensatz zum  Binary Symmetric Channel  (BSC) kann es hier nicht zu Verfälschungen  $(0 → 1, \ 1 → 0)$  kommen.

Ein Reed–Solomon–Code basiert auf einem Galoisfeld  ${\rm GF}(2^m)$  mit ganzzahligem  $m$. Somit lässt sich jedes Codesymbol  $c$  durch  $m$ Bit  darstellen. Will man hier das BEC–Modell anwenden, so muss man dieses zum  $m\text{-BEC}$-Modell  modifizieren, wie es in der unteren Grafik für  $m = 2$  gezeigt ist:

• Alle Codesymbole – in Binärdarstellung  $00, \ 01, \ 10, \ 11$  – werden mit Wahrscheinlichkeit  $1 - \lambda_2$  richtig übertragen.
• Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein ausgelöschtes Symbol  $\lambda_2$.
• Zu beachten ist, dass bereits ein einziges ausgelöschtes Bit zum ausgelöschten Empfangssymbol  $y = \rm E$  führt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal.
• Bei einem auf  ${\rm GF}(2^m)$  basierenden Code ist das skizzierte  $2$–BEC–Modell zum  $m$–BEC zu erweitern.
• Die Auslöschungswahrscheinlichkeit dieses Modell wird dann mit  $\lambda_m$  bezeichnet.
• Für die ersten Teilaufgaben gelte für die Auslöschungswahrscheinlichkeit des Grundmodells gemäß der oberen Grafik stets  $\lambda = 0.2$.

Fragebogen

1

Es gelte  $\lambda = 0.2$. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten beim  BEC–Grundmodell  die möglichen Empfangswerte auf?

${\rm Pr}(y = 0) \ = \ $ $\ \%$

${\rm Pr}(y = {\rm E}) \ = \ $ $\ \%$

${\rm Pr}(y = {\rm 1}) \ = \ $ $\ \%$

2

Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit  $\lambda_2$  auf Symbolebene  $(2$–BEC–Modell$)$, wenn der RS–Code auf  $\rm GF(2^2)$  basiert  $(\lambda = 0.2)$?

$\lambda_2 \ = \ $ $\ \%$

3

Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit  $\lambda_m$, wenn das  $m$–BEC–Modell  an den  $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$  angepasst wird  $(\lambda = 0.2)$?

$\lambda_m \ = \ $ $\ \%$

4

Wie groß darf die Auslöschungswahrscheinlichkeit  $\lambda$  beim  BEC–Grundmodell  maximal sein, damit  $\lambda_m ≤ 0.2$  gilt?

${\rm Max} \ \big[\lambda\big ] \ = \ $ $\ \%$

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird in diesem Fall das „Nullsymbol” empfangen?

${\rm Pr}(y_{\rm bin} = 00000000) \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Aufgrund der Symmetrie des vorgegebenen BEC–Modells (Auslöschungskanal auf Bitebene) gilt für die Erasure–Wahrscheinlichkeit:

$$\ {\rm Pr}(y = {\rm E}) = \lambda \ \underline{= 20\%}.$$

Da die Codesymbole $0$ und $1$ gleichwahrscheinlich sind, erhält man für deren Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y = 0) \ \underline{= 40\%}$ und ${\rm Pr}(y = 1) \ \underline{= 40\%}$.

(2)  Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit gehen wir zur Lösung dieser Aufgabe vom Codesymbol $c_{\rm binär} = $ „$00$” aus.

• Entsprechend dem 2–BEC–Modell kann dann das Empfangssymbol $y_{\rm binär}$ entweder „$00$” oder ausgelöscht $(\rm E)$ sein und es gilt:

$${\rm Pr}(y_{\rm bin} = "00"\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} c_{\rm bin} = "00") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( 1 - \lambda)^2 = 0.8^2 = 0.64 = 1 - \lambda_2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - ( 1 - \lambda)^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 36\%}\hspace{0.05cm}. $$

• Hierbei ist vorausgesetzt, dass ein Erasure nur vermieden wird, wenn keines der zwei Bit ausgelöscht wurde.

(3)  Der $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ basiert auf dem Galoisfeld $\rm GF(256) = GF(2^8) \ \Rightarrow \ \it m = \rm 8$. Das Ergebnis der Teilaufgabe (2) muss nun an diesen Fall angepasst werden. Für den $8$–BEC gilt:

$$1 - \lambda_8 = ( 1 - \lambda)^8 = 0.8^8 \approx 0.168 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_m = \lambda_8 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 83.2\%}\hspace{0.05cm}. $$

(4)  Aus der Bedingung $\lambda_m ≤ 0.2$ folgt direkt $1 - \lambda_m ≥ 0.8$. Daraus folgt weiter:

$$( 1 - \lambda)^8 \ge 0.8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 - \lambda \ge 0.8^{0.125} \approx 0.9725 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda \hspace{0.15cm} \underline{\le 2.75\%}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Hier geht man wie folgt vor:

• Mit $\lambda = 0.0275 \ \Rightarrow \ \lambda_m = 0.2$ sind $20\%$ der Empfangssymbole Erasures.
• Die $2^8 = 256$ Empfangssymbole ($00000000$   ...   $11111111$) sind alle gleichwahrscheinlich. Daraus folgt:

$${\rm Pr}(y_{\rm bin} = 00000000) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= {\rm Pr}(y_{\rm bin} = 11111111)= \frac{0.8}{256} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3125\%}\hspace{0.05cm}.$$