Channel Coding/Channel Models and Decision Structures

1. Channel Coding
2. Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
3. Channel Models and Decision Structures

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AWGN channel at Binary Input

We consider the well-known time-discrete  AWGN Channel model  according to the lower left graph:

• The binary and discrete-time message signal  $x$  takes the values  $0$  and  $1$  with equal probability; that is, it is  ${\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(\tilde{x} =+1) = 1/2$  and  ${\rm Pr}(x = 1) = {\rm Pr}(\tilde{x} =-1) = 1/2$.
  

• Transmission is affected by  additive white gaussian noise  (AWGN)  $n$  with the (normalised) noise power  $\sigma^2 = N_0/E_{\rm B}$ . The dispersion of the Gaussian–WDF is  $\sigma$.
  

• Because of the Gaussian WDF, the output signal  $y = \tilde{x} +n$  can take on any real value in the range  $-\infty$  to  $+\infty$ . The signal value  $y$  is therefore discrete in time like  $x$   $($bzw. $\tilde{x})$  but in contrast to the latter it is continuous in value.
  

PDF of the AWGN Channel

The graph on the right shows (in blue and red respectively) the conditional probability density functions:

\[f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e}^{ - (y-1)^2/(2\sigma^2) }\hspace{0.05cm},\]

\[f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e}^{ - (y+1)^2/(2\sigma^2) }\hspace{0.05cm}.\]

Not shown is the total (unconditional) WDF, for which applies in the case of equally probable symbols:

\[f_y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 ) + f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.\]

The two shaded areas  $($each  $\varepsilon)$  mark decision errors under the condition  $x=0$   ⇒   $\tilde{x} = +1$  (blue)   and respectively $x=1$   ⇒   $\tilde{x} = -1$  (red) when hard decisions are made:

\[z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm if} \hspace{0.15cm} y > 0\hspace{0.05cm},\\ {\rm if} \hspace{0.15cm}y < 0\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

For equally probable input symbols, the mean bit error probability  ${\rm Pr}(z \ne x)$  is then also equal  $\varepsilon$. With the  complementary gaussian error integral  ${\rm Q}(x)$ the following holds:

\[\varepsilon = {\rm Q}(1/\sigma) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) = \frac {1}{\sqrt{2\pi} } \cdot \int_{\sqrt{\rho}}^{\infty}{\rm e}^{- \alpha^2/2} \hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.\]

where  $\rho = 1/\sigma^2 = 2 \cdot E_{\rm S}/N_0$  denotes the signal–to–noise ratio (SNR) before the decision maker, using the following system quantities:

• $E_{\rm S}$  is the signal energy per symbol (without coding equal  $E_{\rm B}$, thus equal to the signal energy per bit),
  

• $N_0$  denotes the constant (one-sided) noise power density of the AWGN–channel.
  
  

Notes: The presented facts are clarified with the interactive applet  Symbol error probability of digital systems

Binary Symmetric Channel – BSC

The AWGN–channel model is not a digital channel model as we have presupposed in the paragraph  block diagram and prerequisities  for the introductory description of channel coding methods. However, if we take into account a hard decision, we arrive at the digital model  Binary Symmetric Channel  (BSC):

BSC–Model und Relation with The AWGN Model

Choosing the falsification probabilities  ${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)$  respectively,  ${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$  respectively to be

\[\varepsilon = {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},\]

then the connection to the  AWGN–Kanalmodell    is established. The decision boundary is at  $G = 0$, which also gives rise to the property "symmetrical".

Hinweis:  Beim AWGN–Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit  $z \in \{0, \hspace{0.05cm}1\}$  bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit  $y$. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN–Modells nun  $y_{\rm A}$. Für das analoge Empfangssignal gilt dann  $y_{\rm A} = \tilde{x} +n$.

Das BSC–Modell liefert eine statistisch unabhängige Fehlerfolge und eignet sich somit zur Modellierung gedächtnisloser rückkopplungsfreier Kanäle, die in diesem Buch ausnahmslos betrachtet werden.

Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im fünften Hauptkapitel des Buches "Digitalsignalübertragung" behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehlerkanäle nach

• dem  Gilbert–Elliott–Modell,
  

• dem  McCullough–Modell.
  
  

Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts)

$\text{Beispiel 1:}$  Die Abbildung zeigt

• statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links), und
• so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts).

Die Bitfehlerrate beträgt in beiden Fällen  $10\%$. Aus der rechten Grafik ist anhand der Bündelstörungen zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wurde.

Binary Erasure Channel – BEC

Das BSC–Modell liefert nur die Aussagen "richtig" und "falsch". Manche Empfänger – so zum Beispiel die so genannten  Soft–in Soft–out Decoder  – können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.

Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell

Der  Binary Erasure Channel  (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:

• Das Eingangsalphabet des BEC–Kanalmodells ist binär   ⇒   $x ∈ \{0, \hspace{0.05cm}1\}$ und das Ausgangsalphabet ternär   ⇒   $y ∈ \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$. Ein  $\rm E$  kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue "Symbol" steht für Erasure, zu deutsch:  Auslöschung.

• Bitfehler werden durch das BEC–Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung  $\rm (E)$  wird mit der Wahrscheinlichkeit $\lambda$ getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung  $1-\lambda$  beträgt.

• Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC– und AWGN–Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure–Entscheidungsgebiet  $\rm (E)$  grau hinterlegt ist. Im Gegensatz zum BSC–Modell gibt es nun zwei Entscheidungsgrenzen  $G_0 = G$  und  $G_1 = -G$. Es gilt:

\[\lambda = {\rm Q}\big[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)\big]\hspace{0.05cm}.\]

Wir weisen hier nochmals auf die folgenden Applets hin:

• Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen,
• Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.

Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC

Das BEC–Modell  $($Fehlerwahrscheinlichkeit $0)$  ist eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (kurz SNR)  $\rho$.

Stärkere Störungen   ⇒   ein kleineres  $\rho$  sollten besser durch den  Binary Symmetric Error & Erasure Channel  (BSEC) mit den zwei Parametern

• Verfälschungswahrscheinlichkeit   $\varepsilon = {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)= {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$,
  

• Erasure–Wahrscheinlichkeit   $\lambda = {\rm Pr}(y = {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)= {\rm Pr}(y = {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$

modelliert werden. Wie beim BEC–Modell gilt auch hier  $x ∈ \{0, \hspace{0.05cm}1\}$  und  $y ∈ \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$.

Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) & Zusammenhang mit dem AWGN–Modell

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten das BSEC–Modell mit den beiden Entscheidungsgeraden  $G_0 = G = 0.5$  und  $G_1 = -G = -0.5$, dessen Parameter  $\varepsilon$  und  $\lambda$  durch das SNR  $\rho=1/\sigma^2$  des vergleichbaren AWGN–Kanals festgelegt sind. Dann gilt

• für  $\sigma = 0.5$   ⇒   $\rho = 4$:

\[\varepsilon = {\rm Q}\big[\sqrt{\rho} \cdot (1 + G)\big] = {\rm Q}(3) \approx 0.14\%\hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm} {\it \lambda} = {\rm Q}\big[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)\big] - \varepsilon = {\rm Q}(1) - {\rm Q}(3) \approx 15.87\% - 0.14\% = 15.73\%\hspace{0.05cm},\]

• für  $\sigma = 0.25$   ⇒   $\rho = 16$:

\[\varepsilon = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm} {\it \lambda} = {\rm Q}(2) \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.\]

Für die rechts dargestellte WDF wurde  $\rho = 4$  vorausgesetzt. Für  $\rho = 16$  könnte das BSEC–Modell durch die einfachere BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu gravierenden Unterschieden kommt.

Maximum-a-posteriori– und Maximum-Likelihood–Kriterium

Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im Kapitel  Struktur des optimalen Empfängers  des Buches "Digitalsignalübertragung" genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.

Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung

Aufgabe des Kanaldecodierers  (oder Kanaldecoders) ist es, den Vektor  $\underline{v}$  so zu bestimmen, dass dieser "möglichst gut" mit dem Informationswort  $\underline{u}$  übereinstimmt.

$\text{Etwas genauer formuliert:}$ 

• Es soll die  Blockfehlerwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) $  bezogen auf die Vektoren  $\underline{u}$  und  $\underline{v}$  der Länge  $k$  möglichst gering sein.

• Aufgrund der eindeutigen Zuordnung  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$  durch den Kanalcoder bzw. empfängerseitig  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$  gilt in gleicher Weise:

\[{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\hspace{0.05cm}. \]

Der Kanaldecoder in obigem Modell besteht aus zwei Teilen:

• Der  Codewortschätzer  ermittelt aus dem Empfangsvektor  $\underline{y}$  einen Schätzwert  $\underline{z} \in \mathcal{C}$  gemäß einem vorgegebenen Kriterium.
  

• Aus dem (empfangenen) Codewort  $\underline{z}$  wird das Informationswort  $\underline{v}$  durch  einfaches Mapping  ermittelt. Dieses sollte mit  $\underline{u}$  übereinstimmen.
  
  

Für den Codewortschätzer gibt es insgesamt vier unterschiedliche Varianten, nämlich

• den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für das gesamte Codewort  $\underline{x}$,
  

• den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für die einzelnen Codebits  $x_i$,
  

• den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für das gesamte Codewort  $\underline{x}$,
  

• den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für die einzelnen Codebits  $x_i$.
  
  

Deren Definitionen folgen auf der nächsten Seite. Vorab aber gleich das wesentliche Unterscheidungsmerkmal zwischen MAP und ML:

$\text{Fazit:}$ 

• Ein MAP–Empfänger berücksichtigt im Gegensatz zum ML–Empfänger auch unterschiedliche Auftrittswahrscheinlichkeiten für das gesamte Codewort bzw. für deren einzelne Bits.
  

• Sind alle Codeworte  $\underline{x}$  und damit auch alle Bits  $x_i$  der Codeworte gleichwahrscheinlich, so ist der einfachere ML–Empfänger äquivalent zum entsprechenden MAP–Empfänger.

Definitionen der verschiedenen Optimalempfänger

$\text{Definition:}$  Der  Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Blockebene  – kurz:  block–wise MAP – entscheidet sich unter den  $2^k$  Codeworten  $\underline{x}_i \in \mathcal{C}$  für das Codewort mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch:   a–posteriori probability, APP):

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} } \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \vert\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.\]

${\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \underline{y} )$  ist die  bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\underline{x}_i$  gesendet wurde, wenn  $\underline{y}$  empfangen wird.

Wir versuchen nun, diese Entscheidungsregel schrittweise zu vereinfachen. Die Rückschlusswahrscheinlichkeit kann nach dem "Satz von Bayes" wie folgt umgeformt werden:

\[{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \underline{y} ) = \frac{{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.08cm} |\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \cdot {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )}{{\rm Pr}( \underline{y} )} \hspace{0.05cm}.\]

Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}( \underline{y}) $  ist unabhängig von  $\underline{x}_i$  und muss bei der Maximierung nicht berücksichtigt werden. Sind zudem alle  $2^k$  Informationsworte  $\underline{u}_i$  gleichwahrscheinlich, so kann man bei der Maximierung auch auf den Beitrag  ${\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) = 2^{-k}$  im Zähler verzichten.

$\text{Definition:}$  Der  Maximum–Likelihood–Empfänger auf Blockebene  – kurz:  block–wise ML  – entscheidet sich unter den  $2^k$  zulässigen Codeworten  $\underline{x}_i \in \mathcal{C}$  für das Codewort mit der größten Übergangswahrscheinlichkeit:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} } \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.\]

Die bedingte Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )$  ist nun in Vorwärtsrichtung zu verstehen, nämlich als die Wahrscheinlichkeit, dass der Vektor  $\underline{y}$  empfangen wird, wenn das Codewort  $\underline{x}_i$  gesendet wurde.

Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den Maximum–Likelihood–Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung.

Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits  $x_i \in \{0, 1\}$  Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP–Empfänger.

$\text{Definition:}$  Der  Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Bitebene  (kurz:  bit–wise MAP) wählt für jedes einzelne Codebit  $x_i$  den Wert  $(0$ oder $1)$  mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i}\vert \hspace{0.05cm} \underline{y} )$  aus:

\[\underline{z} = {\rm arg}\hspace{-0.1cm}{ \max_{ {x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \{0, 1\} } \hspace{0.03cm} {\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i}\vert \hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm} }.\]

Maximum likelihood decision at the BSC channel

Wir wenden nun das Maximum–Likelihood–Kriterium auf den gedächtnislosen  BSC–Kanal  an. Dann gilt:

\[{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) = \prod\limits_{l=1}^{n} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \varepsilon\\ \varepsilon \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y_l = x_l \hspace{0.05cm},\\ {\rm falls} \hspace{0.15cm}y_l \ne x_l\hspace{0.05cm}.\\ \end{array} \hspace{0.05cm}.\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) = \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beweis:}$  Dieses Ergebnis lässt sich wie folgt begründen:

• Die  Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$  gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die Worte  $\underline{y}$  und  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  mit jeweils  $n$  binären Elementen unterscheiden. Beispiel:   Die Hamming–Distanz zwischen  $\underline{y}= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1)$  und  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1)$  ist  $2$.
  

• In  $n - d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$  Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren  $\underline{y}$  und  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  nicht. Im obigen Beispiel sind fünf der  $n = 7$  Bit identisch.
• Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  bzw. deren Ergänzung  $1-\varepsilon$.

Die Vorgehensweise bei der Maximum–Likelihood–Detektion ist, dasjenige Codewort  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  zu finden, das die Übergangswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )$  maximiert:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} \left [ \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Da der Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, erhält man das gleiche Ergebnis nach folgender Maximierung:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.5cm} {\rm mit}\hspace{0.5cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) = \ln \left [ \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \right ] \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.3cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) = d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \cdot \ln \hspace{0.05cm} \varepsilon + \big [n -d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\big ] \cdot \ln \hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) = \ln \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon} \cdot d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) + n \cdot \ln \hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) \hspace{0.05cm}.\]

Hierbei ist zu berücksichtigen:

• Der zweite Term dieser Gleichung ist unabhängig von  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  und muss für die Maximierung nicht weiter betrachtet werden.
• Auch der Faktor vor der Hamming–Distanz ist für alle  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  gleich.
• Da  $\ln \, {\varepsilon}/(1-\varepsilon)$  negativ ist (zumindest für  $\varepsilon <0.5$, was ohne große Einschränkung vorausgestzt werden kann), wird aus der Maximierung eine Minimierung, und man erhält folgendes Endergebnis:
  

$\text{Maximum–Likelihood-Entscheidung beim BSC-Kanal:}$ 

Wähle von den  $2^k$  zulässigen Codeworten  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  dasjenige mit der geringsten Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$  zum Empfangsvektor  $\underline{y}$  aus:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} } \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{y} \in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Anwendungen der ML/BSC–Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:

• Single Parity–check Code  (SPC)
  

• Wiederholungscode  (englisch:   Repetition Code, RC).
  

Maximum likelihood decision at the AWGN channel

Das AWGN–Modell für einen  $(n, k)$–Blockcode unterscheidet sich vom  Modell  auf der ersten Kapitelseite dadurch, dass für  $x$,  $\tilde{x}$  und  $y$  nun die entsprechenden Vektoren  $\underline{x}$,  $\underline{\tilde{x}}$  und  $\underline{y}$  verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus  $n$  Elementen.

Die Schritte zur Herleitung des Maximum–Likelihood–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:

• Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das "White" im Namen). Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann somit geschrieben werden:

\[f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) = \prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l ) \hspace{0.05cm}.\]

• Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement  $(l = 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, n)$  gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

\[f({y_l \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) = \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) = \frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot \sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

• Da  $\underline{y}$  nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt nach der ML–Entscheidungsregel  Wahrscheinlichkeitsdichten  untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

• In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte  $\underline{y}$  und  $\underline{\tilde{x}}$  im  $n$–dimensionalen Raum als die  Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker  Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:

\[d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) = \sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C} \hspace{0.05cm}.\]

• Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF  $f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}_i} )$  konstant ist:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} \exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:

$\text{Maximum–Likelihood-Entscheidung beim AWGN-Kanal:}$ 

Wähle von den  $2^k$  zulässigen Codeworten  $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$  dasjenige mit der kleinsten Euklidischen Distanz  $d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$  zum Empfangsvektor  $\underline{y}$  aus:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} } \hspace{0.1cm} d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung